题目:
基于宽度优先搜索的拓扑排序
思路:
这个问题相当查找有向图中是否存在环。逐个删除入度为0的节点,当删除的节点数量等于输入的所有节点数量时,判定不存在环。
拓扑排序最好使用邻接链表存储邻接关系,而非使用邻接矩阵。因为邻接链表在能够非常直接查找到邻接节点,查找操作耗时O(m+n),而邻接矩阵需要进行遍历才能查找到邻接节点,查找操作耗时O(n^2)。其中n为节点数量,m为边的数量。
本算法的时间复杂度和空间复杂度都比较大,原因在于创建了邻接矩阵存储邻接关系。导致在查找邻接关系的时候,需要进行遍历操作,时间复杂度为O(n^2)。
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class Solution { public: bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) { if(prerequisites.size() == 0) return true; vector< vector<int> > mat( numCourses, vector<int>(numCourses,0) ); vector<int> numR(numCourses, 0); vector<int> stack(numCourses, 0); vector<int> tIn; int top = 0, count = 0; for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) { tIn = prerequisites[i]; mat[tIn[1]][tIn[0]] = 1; numR[tIn[0]] += 1; } for(int j = 0; j < numCourses; ++j) { if(numR[j] == 0) { stack[top++] = j; } } while(top > 0) { int gettop = stack[--top]; count += 1; for(int k = 0; k < numCourses; ++k) { if(mat[gettop][k] == 1) { numR[k] -= 1; if(numR[k] == 0) stack[top++] = k; } } } if(count == numCourses ) return true; else return false; } };
对上述算法进行改进。将邻接矩阵换成邻接链表。时间复杂度为O(m+n),耗时大大缩小。
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注意,这里巧妙使用vector<vector<int>>数据类型创建了“邻接链表”。
class Solution { public: bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) { if(prerequisites.size() == 0) return true; vector< vector<int> > mat(numCourses); vector<int> numR(numCourses, 0); vector<int> stack(numCourses, 0); vector<int> tIn; int top = 0, count = 0; for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) { tIn = prerequisites[i]; mat[tIn[1]].push_back(tIn[0]); numR[tIn[0]] += 1; } for(int j = 0; j < numCourses; ++j) { if(numR[j] == 0) { stack[top++] = j; } } while(top > 0) { int gettop = stack[--top]; count += 1; for(int k = 0; k < mat[gettop].size(); ++k) { numR[mat[gettop][k]] -= 1; if(numR[mat[gettop][k]] == 0) stack[top++] = mat[gettop][k]; } } if(count == numCourses ) return true; else return false; } };
基于深度优先搜索的拓扑排序
时间复杂度:排序过程为O(n+m),其中n为节点数量,m为边数量。构建邻接链表为O(m)。
空间复杂度:邻接链表占据空间为O(m);标识数组占据空间为O(n);递归过程的栈内存最大为O(n),此时拓扑序列为一条链。
class Solution { public: bool canFinish(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) { if(prerequisites.size() == 0) return true; vector< vector<int> > mat(numCourses); vector<int> flag(numCourses, 0); vector<int> tIn; for(int i = 0; i < prerequisites.size(); ++i) { tIn = prerequisites[i]; mat[tIn[1]].push_back(tIn[0]); } bool ans = true; for(int i = 0; i < numCourses; ++i) { ans = ans&&dfsF(i, flag, mat); // 每一条路线不允许存在回路,所以是“&&”逻辑 } return ans; } bool dfsF(int i, vector<int>& flag, const vector<vector<int> >& matC){ if(flag[i] == 1) return true; if(flag[i] == -1) return false; flag[i] = -1; for(int j = 0; j < matC[i].size(); ++j) { if(dfsF(matC[i][j], flag, matC)) continue; else return false; } flag[i] = 1; return true; } };