21图结构的基本概念
图结构的基本概念
图的定义：用于描述多对多的网状关系。
由用于表示事物的顶点（vertex）集合V，以及表示事物之间关系的边（edge）集合E构成
记作G=（V，E）
顶点数目n>0，边数目m≥0
V：非空有穷顶点（vertex）集
E ：V上的顶点对所构成的边（edge）集
边的概念：
1.边---有向边--------带有方向的边。
顶点v和w之间的有向边表示成<v，w>
v：边的尾（tail）； w：边的头（head）
边是由v射入w的；
w是与v相邻（adjacent）的顶点（w是v的邻接点），有向边也称弧（arc）。
注意：<v，w>与 <w，v>是不同的边。
有向边用带箭头的线条表示，箭头指向边的头
2.边----无向边-------不带方向的边
顶点v和w之间的无向边表示成（v，w）。
边是关联于v和w。而v与w互为邻接点。
注意：（v，w）与（w，v）表示同一条边。
无向边用不带箭头的线条表示。
另外：
边表示顶点间的某种关系：
无向边：对称关系（如同志关系）
有向边：非对称关系（如领导和被领导关系）
单行道：有向边；双行道：无向边
3.边----加权边--------边附带一个实数作为权
边的权可以表示边的长度、沿着边旅行所需的费用或时间、工程（输电线路、通信线路、高速公路等）造价等（这里只研究非负权）。
权又统称为耗费（cost），俗称长度（length），但不一定满足三角不等式（两边之和大于第三边）。
注意：画图形时，权标在边的旁边。
示例：
图的图形表示法（必须遵循以下五点）
1.圆圈表示顶点，线段表示边
2.无向边（v，w）不带箭头
3.有向边<v，w>的线段带箭头，箭头指向顶点w
4.加权边的权标注在边的旁边
5.顶点名称写在圆圈内，或标注在圆圈旁边
比如：顶点名称用大写字母A，B，C，D…，
或“北京”、“南京”、“上海”等
顶点变量名用小写字母 v，w，s，…
或v0，v1，…
图的种类
1.有向图：边都有向。
2.无向图：边都无向。
4.混和图：有些边有向，有些边无向（可化为有向图）。
5.简单图：无重复边，无到自身的边（形如<v,v>的边）。
注意点：
无向简单图：两个点之间最多只有一条边 ，而且没有自环（自回路）。
有向简单图：无自环，无重复边（允许<v，w>和<w，v>同时存在）。
6. 多重图：无上述限制。
注意点：
无向多重图：图中有重复边；有到自身的边(环)。
有向多重图: 图中允许有两条<v，w>、<v，w>同时存在；也允许环存在。
7. 加权图：边均带权。
边权图称网（network），非加权图也称0/1图。
边的权通常不满足三角不等式 ；“拓扑”结构图。
重点
图的相关术语：
1.有向图的顶点度：
v的出度（out-degree）：v射出的边数（以v为尾）
v的入度（in-degree）：射入v的边数（以v为头）
v的度（degree）：v的出度与入度之和
2.无向图的顶点度：
v的度（degree）：与v关联的边数。
注意：
所有顶点的入度之和=出度之和=边数（有向图）
所有顶点的度数之和=边数的两倍（无向图）
3.子图
子图就是原图的一部分，由原图中部分顶点，以及这些顶点之间的一部分边组成的图。但必须与原图的那一部分一模一样。
4. 路径和回路
路径（path） ：首尾相接的边序列。
回路径（cycle）：起点与终点重合的路径
简单路径：边不重复；
基本路径：中间无重复顶点。
路径 (path)(通路):首尾相接的边序列。
起点和终点：路径上的两个端点。
路径长度（length）：路径上的边数。
简单路径：顶点不重复
回路(cycle)(圈)：起点和终点相重合的简单路径
加权图中的加权路径耗费=路径上边耗费之和
5.无向图的连通性
v与w连通（connected）：顶点v到w有路径，也称v可到达w。
孤立点：与任何点都不连通
孤悬边：删除边（v，w）后，v或w就变成孤立点。
连通图（connected graph）：任何两顶点都连通。
连通分量（connected component）：极大连通子图，连通图只含一个连通分量。（极大指的是在满足连通的条件下，尽可能多的含有图中的顶点以及这些顶点之间的边。）
6.有向图的连通性
v与w连通（connected）：v到顶点w路径，也称v可到达w。
强连通图（strongly connected graph）：任何两点v和w均相互连通。
强连通分量（strongly connected components，或strong components）：
极大强连通子图，强连通图只含一个强连通分量。
注意：
v和w单向连通：v到w有路径（v可达w）。
v和w互连通的（双向连通）：v到w，和w到v都有路径。
强连通的（strong connected）：G中任何两个顶点都互连通。
强连通分量（connected component）：G'=(V'，E')是G=(V，E)的由V'导出的强连通子图，而且V-V'中的任何顶点都不与V'中任何顶点双向连通。
无向连通图的生成树（spanning tree）：
是图的一种连通子图，它含有图的全部n个顶点，但只含有足以使图保持连通的n-1条边。
生成树也称支撑树，生成树不唯一。
生成森林（spanning forest）：无向非连通图每个连通分量有一棵生成树，构成图的生成森林。
图如何以矩阵形式存储？--------邻接矩阵
顶点表示事物，边表示事物间的关系，对应的关系矩阵。
顶点对应矩阵的行列号，边对应矩阵元素值。
0/1图对应的邻接矩阵是0/1矩阵：顶点v和w之间有边，矩阵第v行第w列元素值为1；否则为0。
加权图对应的邻接矩阵（也称耗费矩阵）是实数矩阵：对角线元素值均为0；顶点v和w之间有边，矩阵第v行第w列的元素值为该边的长度 ；否则为∞。
注意点：无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
邻接矩阵的顺序存储：
因为邻接矩阵是一个n×n的方阵，所以可采用一般矩阵的存储方式。
（1）二维数组存储
最直观的存储方式用二维数组（比如a[n][n]）存储称为图的邻接数组（adjacency array）。
优点：可直接从v行w列读出边<v，w>信息
缺点：存储量较大
适用情况：边数相对较多的有向图
存储效率分析：
邻接数组存储法（无论是否压缩）是边集的一种顺序存储方式。
优点：简单，极易在图中查找、插入、删除一条边
缺点：存储n个顶点的图，要占用O(n2)个存储单元
（无论图中实际含多少条边）
图的读入、存储空间的初始化等需要花费O(n2)个单位时间。
对于边数m<<n2时的稀疏图是不经济的。
存储稀疏图最好采用邻接表法。
邻接表
概念：顶点v的所有邻接点组成的表，称为v的邻接表L[v]，各顶点邻接表总称为图的邻接表 （adjacency lists），邻接表采用链式存储（即邻接链表），L[v]中每个结点对应图中一条边，称为边结点。
对有向图，若存在边<v，w>，则w处于L[v]中。
对无向图，若存在边(v，w)，则w处于L[v]中，同时v也 处于L[w]中。
n个顶点的邻接链表构成一个链表组，使用一个表头指针数组将n个链表结合在一起。
邻接表通常设计成单向链表形式，根据需要，也可设计成双向的、或其他形式的链表。
（2）边结点结构
不同的图采用不同的边结点结构
下面分别介绍加权图和0/1图的边结点结构定义形式
（1）加权图的边结点类型定义：
含有邻接点名称（编号）域、边的长度（耗费）域和指向下一个边结点的指针域。
边结点的类型定义：
typedef struct edge_node
{ int adjacent; // 邻接点名称域
cost_type cost; // 边的耗费域
struct edge_node *next; //指各下一个边结点
} edge_node, *Eptr;
（2）0/1图的边结点类型定义：
含有邻接点名称(编号)域和指向下一个边结点的指针域。
边结点的类型定义：
typedef struct edge_node
{ int adjacent; // 邻接点名称域
struct edge_node *next; //指各下一个边结点
} edge_node, *Eptr;
（3）邻接链表的表头结点（顶点结点）结构定义：
含有顶点名称域和指向邻接表首结点的指针域。必要时，可增加其他域。
顶点结点的类型定义：
typedef struct edge_node
{ Vname_type name ; //顶点名，用于由号查名
Eptr firstedge ; //邻接表的首指针
} hnode ;
表头结点组定义为：
hnode L[n]; //n为具体顶点数
