18B树、B++树和Trie树
B树、B++树和Trie树
B树
定义：一个非空M元（也称M阶）B树（R.Bayer，1970年）
满足下列条件：
1）每个结点含有m个元素a1＜a2＜…＜am。含有m个元素的结点有m+1个子树，m称为结点长度
2）结点长度m满足：
根结点，1≤m≤M-1 可以有2~M个子树
非根结点，M/2-1≤m≤M-1
可以有M/2~M个子树
3）结点结构中：
pi（i=0，1，…，m）是指向第i个子树的指针
ai（i=1，…，m）是结点值
对于非叶结点，第0个子树上所有元素都小于a1
第i个子树上的元素x满足ai＜x＜ai+1（1≤i≤m-1）
第m个子树上所有元素都大于am
4）所有的叶均在同一层上
B树的查找
查找元素x的步骤大致如下：
步骤1）如果当前结点为空，则查找失败
步骤2）在当前结点中查找x
如果找到x，查找成功；
否则
若x＜a1，沿p0递归向下查找
若ai＜x＜ai+1（1≤i＜m），沿pi递归向下查找
若x＞am，沿pm递归向下查找
B树的插入
插入步骤如下：
步骤1）用查找的方法为x找到所在位置，查找路径终止于某个空树，把x插在其父结点的有序位置上
步骤2）如果插入x后，结点不超长，则插入完毕；
否则，进入下一步超长处理
步骤3）将超长结点一分为二，将“中间元素”递归地插在上层结点中
步骤4）若插入波及到根，当根上溢时，把根一分为二，并将中间元素上移，而产生含单元素的新根，使B树升高。
将超长结点d一分为二的操作方法：
1. 超长结点d的元素达M个，令k=M/2，元素ak作为中间元素。
2. 将排在ak左侧的元素和相应的指针被保留在结点d中。
3. 将排在ak右侧的元素和相应的指针移入新结点e中。
4. 将ak连同指向结点e的指针一起插在d的父结点f中，排在指向结点d的指针右侧。
B树的删除
（1）删除x大体步骤：
步骤1）经查找，在某一结点c中找到x
步骤2）根据x所在位置的不同，作出不同的处理
①如果c是叶，直接从叶中删除x
②如果c是非叶，需要用x的“中序前驱”代替x。
注意：
寻找x的中序前驱：
沿着x左侧子树的最右分枝一直下降到某个叶结点s，结点s中最右元素y便是x的前驱，
用y代替x（复制）后，在结点s中删除y。
步骤3）如果删除后d（d指的是真正删除元素的结点）不下溢，删除结束；否则，进入下一步下溢处理。
步骤4）如果d是根（根变空才算下溢），转步骤9；否则，进入下一步。
步骤5）找d的邻近兄弟e。（现在d下溢，d不是根，d的长度小于M/2-1）。
步骤6）如果e长度未到下限，即多于半满（否则，进入步骤7） ，则从e中借一个元素（连同相应的指针）给d，并应适当地调整d和e之间的那个元素，删除结束。
步骤7）将e合并到d，也就是把e中的元素，以及d和e之父f的那个“中间元素”都加到结点d中，结点e变空，删除空结点e。（也可将d合并到e，而删除d）。
步骤8）如果引起f下溢，令d=f转步骤4；否则删除结束。（因f的元素下移，使f的长度减小）
步骤9）（根的长度变为0）删除根，B树高度下降。
B+树
基本概念
（1）B+树与B树主要区别：
所有的数据元素都存储在叶结点中，非叶结点仅存便于查找的索引信息（索引结点）。
1）第i个子树上的元素x满足ai＜x≤ai+1可取等号，与B树不同。
2）叶与非叶具有不同的结点结构。叶结点中可以存放储K/2~K个元素；K的可以与树的元数M相等也可以不等。
注意点：
将叶结点“穿成”有序链表。具有“两套”查找机构。
纵向：沿树枝进行查找；
横向：沿链表顺序查找。
B+树的插入
（1）插入x的大体步骤：
步骤1）从根结点起，沿纵向搜索路径为x找到所在的叶结点d。如果叶d未满，则把x插在叶d的有序位置上，插入完毕；否则，进入下一步。
步骤2）叶d已满，叶长达到K，将d一分为二：
产生新叶e，将d的下部K/2个元素移入e，另一半留在d中。
设d的父亲是f，给f加一个儿子e，e排在d之右侧，将e的最小元素的值加到f中作为新索引项，如果f不超长，则插入结束；否则，进入下一步。
步骤3）将f分裂成f和g，并递归地将g插到上一层中。
步骤4）若插入波及到根，当根上溢时，把根一分为二，并产生新根。
B+树的插入示例：
B+树的删除
（1）删除x的大体步骤：
步骤1）沿根到某叶的一条路径查找x，如果x不存在，删除失败，结束；否则，进入下一步。
步骤2）在x所在叶d中删除x。如果删除x后，叶d不下溢，则删除结束；否则，进入下一步。
步骤3）找叶d的兄弟e。如果e处于半满状态，进入步骤4；
否则，从e中移一个元素给叶d。如果e在d的左侧，则移的是e中最大元素；如果e在d的右侧，则移的是e中最小元素，移走元素的同时，修改上层结点中的索引信息，删除结束。
步骤4）将d合并到e。将d的所有元素都给e，删除d，并相应的修改上层结点中的索引信息，也可将e合并到d。
步骤5）如果删除d不引起其父f的下溢，则删除结束；
否则，将递归地波及到更上层结点，或者可以向其兄弟“借”一个索引项和一个子树，或者与其兄弟合并。如果波及根，根长度为0，删除根，整个树的高度下降，删除非叶结点的大体步骤与B树相同。
删除示例：
Trie树
组织结构：
定义：属于数字查找树，用于按数字或字符索引。像大型字典的“书边标目”。
优点：
1.元素（字符串）存储在叶结点中。
2.非叶结点只存储一个字符作为索引。
3.从根到某个叶的路径上字符组合成的字符串，恰是存储于该叶中的元素值（关键字）。
示例：
