17红黑树

红黑树

 

定义：

带有外部结点，且满足下列条件的二叉树：

1）每个结点都有标为红色，或黑色

2）根结点为红色

3）外结点为黑色

4）[红不相邻]每个红结点的儿子必为黑结点

5）根（包括子树的根）到外结点的每条路径上，标记为黑色的结点数相同

 

 

结点数与高度之间的关系：

定理：

1.具有n个内结点的红黑树，高度h≤2log(n+1)。

2.结点x的黑高bh(x)等于x到达其子孙叶子的任意路径上遇到的黑色结点的数目（不包括x本身）。

3.结点x的非空子孙数≥2bh(x)-1 。

 

旋转方法：

红黑树属于二叉平衡检索树

对红黑树插入删除时，若破坏了黑平衡

则要对其进行调整（通过旋转）

旋转方法——左旋、右旋，二者对称

要求：保中序、保黑平衡

 

 

 

 

红黑树插入算法

void  rb_insert(elem_type x)

{  //插入阶段

1.  按一般检索树的插入方法插入x，用新结点x代替某个外结点

2.  将x标记为红色//为保黑平衡，新结点总是先标为红色

//回溯阶段

3.  设p是指向新结点x的指针

4.  while(1)

5.   { if(p是根) {将结点p标成黑色;  return;}

6.    if(p之父是黑色) return;

//至此，p不是根，并且p之父为红色，而且p之父也不是根

7.   用f指向p之父，g指向f之父;

8.   if(f是g的左儿子)  //f是g的右儿子处理步骤与之对称

9.    { 用q指向g的右儿子;      //即q是p的“叔叔”

10.     if(q为红色)      

11.      {将f和q改为黑色，将g改为红色;   //g原为黑色

12.        令p指向g;       

13.        coninue;

         }      //因g改为红色后，会造成“红相邻”，要向上层回溯

14.  if(p是f的右儿子)在f点左旋,并调整指针;

15.  将p的父亲f改为黑色，将f的父亲g改为红色;    

16.  在g点右旋;           

17.   return;

       }

          else    {与语句9~17对称，处理f是g的右儿子的情况}

       }   //与语句5的左括号对应

   } //与最外层左括号对应

 

图示

 

 

 

插入示例图

 

 

 

 

删除操作的基本原理

像一般检索树那样，找到要删除的结点x，若x有两个儿子，真删除的是x的中序前驱

于是，被删除结点或是叶，或只有一个儿子，删除后，要接好断枝。

 

如果被删除结点f是红的，不要回溯，算法终止。

 

 

如果被删除结点f是黑的，破坏了红黑树条件

分下列3种情况，分别进行处理：

1）f是根结点，而且代替f的红儿子p作新根（破坏了条件2），只要将新根p改为黑的就行了。

2）f的儿子p是红的，而f的父亲g也是红色的，用p代替f作g的儿子时，发生红冲突，破坏了条件4，只要将p改为黑的就行了。

3）f的儿子p是黑的，用p代替f，将导致p所在的那条路径上黑色结点减少，破坏了条件5，要考虑如何恢复黑平衡。

 

当删除黑色结点f，让其黑儿子p代替它时，给p“附加”一个虚拟黑色，使p成为既有原来的颜色，又有虚拟黑色的一个“双色结点”，使树仍然保持黑平衡（假想的）。

 

注意：

“双色结点”只是一个虚拟概念（帮助理解回溯过程中的黑平衡）。随着向上层回溯过程，原双色结点消失（保留原色），上层某个结点变成双色结点（双色上移）

 

双色结点上移过程，可能出现三种情况：

1）如果p是“红-黑”的，即p本来是红的。这种情况下，只要将p改为黑色，恢复其单色性，回溯终止

2）如果p指向根结点，在这种情况下，这个附加的黑色自动消失了，回溯终止

3）其他情况，则需要适当地旋转和改色

 

 

红黑树删除算法

void  rb_delete(elem_type x)

1. {  在树中找到要删除的结点x，并用f指向x；

2.   if(x有两个儿子)     //被删除的将是x的中序前驱y

3.    {找x的中序前驱y; 用y结点值代替x结点值；并用f指向y；}

//至此，f指向被删除结点，且f至多只有一个儿子

4.   if(f的左儿子不空) p指向f的左儿子；

5.     else  p指向f的右儿子；        //p有可能指向外结点

6.   if(f是根){使p作根，并将p标为黑色; return;}  //算法终止

7.    else  让p代替f作为其父g的儿子;        //删除了f

8.   if(f是红的) return;          //算法终止

9.   if(f是黑的，而p是红的){ 将p标为黑色; return;}//算法终止

    //至此，f和p都是黑的

10.  while(p不是根，且p是黑的)

     {

11.   if(p是左儿子)//是右儿子的情况与之对称

12.   { 用q指向p的兄弟；

13.     if(q是红的)       //情况一

14.      { 将q改为黑色, 将p之父改为红色;

15.          在p之父处左旋；

16.          将q重新指向p的新右兄弟；

           }

17.     if(q的左右儿子都是黑的)       //情况二，双色结点上升

18.       { 将q改为红的；将p指向其父；

19.         cotinue;    //进入下一轮循环

         }

       else//与语句17的if配对，q的左右儿子不全是黑的

        {

20.        if(q的右儿子是黑的，而左儿子是红的)         //情况三

21.         { 将q的左儿子改黑, 将q改红；

22.            在q点右旋;

23.            将q重新指向p的新右兄弟；

              }   //至此q的右儿子是红的

24.       将p之父的颜色赋给q；//情况四

25.       将p之父改为黑色, 将q的右儿子改黑；

26.       在p之父点处作左旋;

27.       p指向根; //转到语句10，使循环终止，再转到语句29处

        }

      }

28.    else    {与语句12~27对称，处理p是f右儿子的情况}

       }

29.  将p改为黑色；return;

   }

 

 

图示