16平衡树
平衡树，又称AVL树。（以前苏联学者Adelson-Velskii和Landis的名字命名）
定义：所有结点的平衡因子绝对值≤1的二叉树（高度h控制在结点数n的对数范围之内 h≤O(logn)的树都属于平衡树（balanced tree））。
平衡因子：右子树的高hR与v的左子树高hL之差hR-hL 。
AVL树各点的平衡因子：只能是0、1、-1。
性质：高度h≤1.45log2n （n是结点数）
换句话说，以某一点为根结点，再以其右子树的高度减去其左子树的高度。其值只能是0，-1,1。
比如：
最顶端是根结点，其右边高度减左边高度，所以其根结点的平衡因子为0。
一、插入引起的旋转
（1）插入操作的大体步骤
步骤1） 像一般的检索树那样插入x（新叶）
步骤2）沿插入x的路线返回，修改x祖先的平衡因子
步骤3） 回溯中，一旦发现x的祖先p失衡
由p->bal=1 变成 p->bal=2
由p->bal=-1 变成 p->bal=-2
旋转以p为根的子树，使之平衡
（2）平衡因子变化情况分析
x插在p的左子树上，且使p的左子树高度增1
当返回路线沿左路到达p时 ，插入前 ：
p->bal=0（hR=hL=h）
p->bal=1（hR=h，hL=h-1 ）
p->bal=-1（hR=h，hL=h+1 ）
（3）旋转方法
前提(左子树) ：p->bal=-1 变为 p->bal=-2
1. LL单旋：p的左儿子作根
2. LR双旋：p的孙子作根
前提(右子树) ：p->bal=+1 变为 p->bal=+2
1.RR单旋：p的右儿子作根
2.RL双旋：p的孙子作根
LL单旋
具体情况及方法：
情况：x插在p的左儿子p1的左子树上，使p1的左子树升高，继而引起p1点升高
插入x前，p1->bal=0；
插入x 使p1的左子树升高，p1->bal变为-1
现沿左路到达p1，又沿左路到达p。
旋转方法：
(1)使p1作为子树之根
(2) p作p1的右儿子；p1的右儿子作p的左儿子
旋转后：p子树高度没有增加，停止回溯
LR双旋
情况：x插在p的左儿子p1的右子树上，使p1的右子树升高，继而引起p1点升高
插入x前，p1->bal=0；
插入x 使p1的右子树升高，p1->bal变为1
现沿右路到达p1，又沿左路到达p
旋转方法：
(1)p2作为子树之根
(2)p1和p分别作p2的左右儿子
(3)p2的原左右儿子分别作p1的右儿子和p的左儿子
旋转后：p子树高度没有增加，停止回溯
结论：
1.插入一个结点，至多旋转一次
2.从右路返回到p的处理完全对称（旋转：RR单旋、RL双旋）
3.“左”都换成“右”，“右”都换成“左”
4.正号都换成负号，负号都换成正号
RR单旋
旋转方法：
(1)使p1作为子树之根
(2) p作p1的左儿子；p1的右儿子作p的左儿子
旋转后：p子树高度没有增加，停止回溯
RL双旋
旋转方法：
(1)p2作为子树之根
(2)p和p1分别作p2的左右儿子
(3)p2的原左右儿子分别作p1的右儿子和p的左儿子
旋转后：p子树高度没有增加，停止回溯
构造AVL树实例
步骤：
1.按照构造有序二叉树的方法（左小右大），构造有序二叉树。
2.按照上述方法，使用哪种旋转方法。可能要使用多种的结合，不局限于一种。
二、删除引起旋转
（1）删除结点x的大体步骤:
步骤1）用一般检索树的删除算法找到并删除结点x，x有两个儿子时，被删除的是x的中序前趋。
步骤2）沿根到被删除结点的路线之逆逐层向上回溯，检查该路线上各结点的平衡因子是否变化，如果变化，则及时修改。
步骤3）若发现某结点p的平衡因子，由p->bal=1变成p->bal=2，或由p->bal=-1变成p->bal=-2（失衡），则旋转以p为根的子树结构，恢复平衡。
如果旋转后子树高度还降低，要继续回溯。
（2）平衡因子变化情况分析
在p的左子树上删除，使p的左子树高度降1。
删除前p的平衡因子（分三种情况）
p->bal=-1
p->bal=0
p->bal=+1
总结：
删除前p的平衡因子（分三种情况）
1．p->bal=-1
p->bal变为0，树高降低，回溯
2．p->bal=0
p->bal变为-1，树高不变，平衡
3．p->bal=+1
p->bal变为+2，旋转
（3）旋转方法
情况：在p的左子树上删除，使p的左子树高度降1
删除前，p->bal=+1；
删除后，p->bal变为+2
考虑：p的右儿子p1的平衡因子。
p1->bal=0
p1->bal=+1
p1->bal=-1
旋转方法（结论）：
情况：在p的左子树上删除使p的左子树高度降1
删除前，p->bal=+1
删除后，p->bal变为+2
考虑：p的右儿子p1的平衡因子
p1->bal=0 RR单旋 平衡
p1->bal=+1 RR单旋 树高降低
p1->bal=-1 RL双旋 树高降低
旋转后：子树高度如果降低，继续回溯
删除示例：
删除示例2
