12二叉树的基本概念和性质
二叉树的基本概念和性质
二叉树的定义：二叉树（binary tree）也称二分树，是二元位置树。每一个结点的度至多为2。
每个结点最多有两个儿子（左儿子、右儿子）
结点的两棵子树叫做左子树和右子树
二叉树的基本性质：
1） 非空二叉树中，第i层（i≥1）上结点的个数
ni≤2i-1
2）高为k（k≥0）的二叉树中，结点总数mk满足：
mk≤2k-1
3） n个结点的二叉树的高h至少1+[log2n]
（即h≥1+[log2n]），其中，方括号表示“下取整”
满二叉树和完全二叉树：
（1）满二叉树（full binary tree）也称丰满二叉树，高为k的二叉树，结点数达到最大值2k-1的二叉树。
（2）完全二叉树（complete binary tree），也称左满二叉树，或顺序二叉树，是由满二叉树的编号从1到n的前n个结点（这里n≤2k-1）构成的二叉树。
注意:
完全二叉树是满二叉树的一部分
满二叉树是完全二叉树的特例
完全二叉树的性质：
1） n个结点的完全二叉树的高度k=1+[log2n]。
2） 编号为i(1≤i≤n)的结点父亲儿子的编号满足：
父结点的编号为：father(i)=[i/2]
（但i=1时，是根，无父亲）
左儿子编号为：Lson(i)=2i
（但2i>n时，是叶，无左儿子）
右儿子编号为： Rson(i)=2i+1
（但2i+1>n时，无右儿子）
普通树与二叉树的转换
将普通树T转换成二叉树B的步骤如下:
步骤1）使T之根作为B之根
步骤2）对于所有已经转换过的结点f和尚未转换过的结点s，反复做下面两步：
步骤3）如果结点s在T中是结点f的第一个儿子，那么在B中让s作为f的左儿子
步骤4）如果结点s在T中是紧靠结点f的“下一个”兄弟，那么在B中让s作为f的右儿子.
换句话说，在原普通树的前提下，就是将兄弟结点用一根线代替，变成第一个兄弟结点的子孙结点。
森林与二叉树的转换
转换步骤：
1）给森林增设一个虚拟根结点，使森林中各树的根都作为该虚拟根的儿子，把森林变成一棵普通树
2）按普通树转换成二叉树的方法将这棵树转换成二叉树
3）删去虚拟根结点，而以虚拟根的左儿子为根，就得到由森林转换的二叉树
换句话说，森林无非就是多个根结点，那么将这几个根结点变成孩子结点，在其前驱加一个共同父亲结点，此时就是一颗普通树。就按普通树进行转换。
二叉树转换成森林（或普通树）
将二叉树B转换成普通树T的步骤如下：
步骤1）给二叉树B增设一个附加根R，原根作附加R的左儿子。
步骤2）使R作为转换后树T的根。
步骤3）对于所有已经转换过的结点f和尚未转换过的结点s，反复做下面两步。
步骤4）如果结点s在B中是结点f的左儿子，在T中s作为f的第一个儿子。
步骤5）如果结点s在B中是结点f的右儿子，在T中s作为f的兄弟，即作为f之父的另一个儿子，这个儿子紧靠在f的右侧。
步骤6）删去附加根R，得到最终的转换结果。
1．普通树的存储方法
（1）多重链接法
存储m元树用m重链表，结点结构的定义
typedef struct tnode
{ element_type data; //假定结点值域类型
struct tnode *son[m]; //指向各个儿子的链域
} tnode,*tptr; //定义结点类型和指针类型别名
（2）左儿子右兄弟链接法
结点结构定义
typedef struct tnode
{ element_type data;
struct tnode *son，*sibling;
} tnode,*tptr;
特点：
定位根，适合于“从上而下”的搜索，从儿子找父亲很困难，除非加指向父亲的链域（father）
（3）父亲链接法
条件：结点值（或编号）是0到n-1的整数
用数组tree[n]存储，tree[i].father存储结点i的父亲。
若结点j是根，则root=j，且tree[j].father= -1
特点：
1.数组的下标是结点的编号（像静态链表）
2.容易由儿子找到父亲
3.无法从父亲找到儿子
4.必须能够将结点名（值）快速变换成编号
二叉树的存储方法
（1）完全二叉树的顺序存储
用数组a[n+1]存储完全二叉树的n个结点（a[0]不用），使编号为i的结点存放在a[i]中，
a[1]是根结点，a[2]，a[3]是根的两个儿子……结点a[i]的父结点是a[i/2]，其左右儿子是a[2*i]和a[2*i+1]。（如果它的父亲、左右儿子存在的话）
特点：节省链域，查找父亲、儿子特别快。
（2）普通二叉树的双链存储
结点含有值域和指向左儿子和右儿子的链域
typedef int element_type; //假定结点类型是int
typedef struct Bnode //定义二叉树结点类型Bnode
{
element_type data; //data域
struct Bnode *Lson, *Rson; //指向左右儿子的链域
} Bnode, *Bptr; // 定义结点类型名，和指针类型名
Bptr root,p; // 定义指针变量
特点：根定位（使用根指针），便于从上向下搜索。
