堆以及堆排序

堆的概念

堆是用数组实现的二叉树，它没有使用父指针或者子指针。利用数组的下标，就可以得到节点的父节点与子节点在数组中的位置。下标为i的节点，在不越界的情况下，它的左孩子坐标为2i+1，右孩子坐标为2i+2，父节点为(i-1)/2。

堆分为两种，大根堆与小根堆。在大根堆中，父节点的值比每一个子节点的值都要大，任何一棵子树的最大值都是这棵子树的头部。在小根堆中，父节点的值比每一个父节点的值都要大，任何一棵子树的最小值都是这棵子树的头部。

堆的操作

• 插入过程：

  以大根堆为例，在已有的堆中插入一个新的元素，需要经过如下的调整：将插入的节点与父节点的值进行比对，如果父节点的值小于插入值，两者进行交换，直到新插入的值小于它的父节点的值。

  void heapinsert(vector<int> &arr, int index)
  {
  	while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) //与父节点的值进行对比
  	{
  		swap(arr[index], arr[(index - 1) / 2]);
  		index = (index - 1) / 2;
  	}
  }
  

• 调整过程：

  在堆中某个元素发生改变，使数组不再形成一个大根堆，需要将该节点向下调整，与子节点中的最大值进行交换。

  void heapify(vector<int> &arr, int index, int heapsize) //heapsize为堆的大小
  {
  	int left = index * 2 + 1;
  	while (left < heapsize)
  	{
  		int largest;
  		if (left + 1 < heapsize)
  			largest = arr[left] > arr[left + 1] ? left : left + 1; 
  		else
  			largest = left; 
  		largest = arr[index] > arr[largest] ? index : largest; //节点与其子节点中的最大值
  		if (largest == index) //最大值为该节点，不调整
  			break;
  		swap(arr[index], arr[largest]);
  		index = largest;
  		left = index * 2 + 1;
  	}
  }
  

• 堆的弹出：

  与栈一样，堆也有弹出操作，具体的做法如下：

  1. 将堆顶元素与堆中的最后一个元素进行交换。
  2. 对堆顶位置进行heapify操作。
  3. 堆的大小减少1。

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，它的时间复杂度为O(NlogN)。它的算法步骤如下：

1. 利用heapinsert操作将一个无序数组调整为一个大根堆。
2. 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大，heapsize减1。利用heapify对堆进行调整，使其重新满足堆的定义。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，不断进行重建。

void heapsort(vector<int> &arr)
{
	if (arr.size() < 2)
		return;
	for (int i = 0; i < arr.size(); i++) //构建大根堆
		heapinsert(arr, i);
	int size = arr.size();
	while (size > 0) //将最大值调整到末尾
	{
		swap(arr[0], arr[--size]);
        heapify(arr, 0, size);
	}
}