二分查找

转自：http://www.cppblog.com/converse/archive/2009/10/05/97905.html

二分查找算法基本思想
二分查找算法的前置条件是,一个已经排序好的序列(在本篇文章中为了说明问题的方便,假设这个序列是升序排列的),这样在查找所要查找的元素时,首先与序列中间的元素进行比較,假设大于这个元素,就在当前序列的后半部分继续查找,假设小于这个元素,就在当前序列的前半部分继续查找,直到找到同样的元素,或者所查找的序列范围为空为止.

用伪代码来表示, 二分查找算法大致是这个样子的:

left = 0, right = n -1
while (left <= right)
    mid = (left + right) / 2
    case
        x[mid] < t:    left = mid + 1;
        x[mid] = t:    p = mid; break;
        x[mid] > t:    right = mid -1;

return -1;

第一个正确的程序
依据前面给出的算法思想和伪代码, 我们给出第一个正确的程序,可是,它另一些小的问题,后面会讲到

int search(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = 0, right = n - 1;

    while (left <= right)
    {
        middle = (left + right) / 2;
        if (array[middle] > v)
        {
            right = middle;
        }
        else if (array[middle] < v)
        {
            left = middle;
        }
        else
        {
            return middle;
        }
    }

    return -1;
}

以下,讲讲在编写二分查找算法时可能出现的一些问题.

边界错误造成的问题
二分查找算法的边界,一般来说分两种情况,一种是左闭右开区间,类似于[left, right),一种是左闭右闭区间,类似于[left, right].须要注意的是, 循环体外的初始化条件,与循环体内的迭代步骤, 都必须遵守一致的区间规则,也就是说,假设循环体初始化时,是以左闭右开区间为边界的,那么循环体内部的迭代也应该如此.假设两者不一致,会造成程序的错误.比方以下就是错误的二分查找算法:

int search_bad(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = 0, right = n;

    while (left < right)
    {
        middle = (left + right) / 2;
        if (array[middle] > v)
        {
            right = middle - 1;
        }
        else if (array[middle] < v)
        {
            left = middle + 1;
        }
        else
        {
            return middle;
        }
    }

    return -1;
}

这个算法的错误在于, 在循环初始化的时候,初始化right=n,也就是採用的是左闭右开区间,而当满足array[middle] > v的条件是, v假设存在的话应该在[left, middle)区间中,可是这里却把right赋值为middle - 1了,这样,假设恰巧middle-1就是查找的元素,那么就会找不到这个元素.

以下给出两个算法, 各自是正确的左闭右闭和左闭右开区间算法,能够与上面的进行比較:

（以下这两个算法是正确的）

int search2(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = 0, right = n - 1;

    while (left <= right)
    {
        middle = (left + right) / 2;
        if (array[middle] > v)
        {
            right = middle - 1;
        }
        else if (array[middle] < v)
        {
            left = middle + 1;
        }
        else
        {
            return middle;
        }
    }

    return -1;
}

int search3(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = 0, right = n;

    while (left < right)
    {
        middle = (left + right) / 2;

        if (array[middle] > v)
        {
            right = middle;
        }
        else if (array[middle] < v)
        {
            left = middle + 1;
        }
        else
        {
            return middle;
        }
    }

    return -1;
}

死循环
上面的情况还仅仅是把边界的当中一个写错, 也就是右边的边界值写错, 假设两者同一时候都写错的话,可能会造成死循环,比方以下的这个程序:

int search_bad2(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = 0, right = n - 1;

    while (left <= right)
    {
        middle = (left + right) / 2;
        if (array[middle] > v)
        {
            right = middle;
        }
        else if (array[middle] < v)
        {
            left = middle;
        }
        else
        {
            return middle;
        }
    }

    return -1;
}

这个程序採用的是左闭右闭的区间.可是,当array[middle] > v的时候,那么下一次查找的区间应该为[middle + 1, right], 而这里变成了[middle, right];当array[middle] < v的时候,那么下一次查找的区间应该为[left, middle - 1], 而这里变成了[left, middle].两个边界的选择都出现了问题, 因此,有可能出现某次查找时始终在这两个范围中轮换,造成了程序的死循环.

溢出
前面攻克了边界选择时可能出现的问题, 以下来解决还有一个问题,事实上这个问题严格的说不属于算法问题,只是我注意到非常多地方都没有提到,我认为还是提一下比較好.
在循环体内,计算中间位置的时候,使用的是这个表达式:

middle = (left + right) / 2;

假如,left与right之和超过了所在类型的表示范围的话,那么middle就不会得到正确的值.
所以,更稳妥的做法应该是这种:

middle = left + (right - left) / 2;

更完好的算法
前面我们说了,给出的第一个算法是一个"正确"的程序, 可是另一些小的问题.
首先, 假设序列中有多个同样的元素时,查找的时候不见得每次都会返回第一个元素的位置, 比方考虑一种极端情况:序列中都仅仅有一个同样的元素,那么去查找这个元素时,显然返回的是中间元素的位置.
其次, 前面给出的算法中,每次循环体中都有三次情况,两次比較,有没有办法降低比較的数量进一步的优化程序?
<<编程珠玑>>中给出了解决这两个问题的算法,结合前面提到溢出问题我对middle的计算也做了改动:

int search4(int array[], int n, int v)
{
    int left, right, middle;

    left = -1, right = n;

    while (left + 1 != right)//这个循环维持的条件是left<right && array[left]<v<=array[right],所以到最后的时候，
    {//假设能够找到目标，则仅仅剩下两个数，而且满足 array[left]<v<=array[right],是要查找的数是right
        middle = left + （right － left) / 2;

        if (array[middle] < v)//必须保证array[left]<v<=array[right]，所以left = middle;
        {//假设left =middle+1,则有可能出现 array[left]<=v的情况
            left = middle;
        }
        else
        {
            right = middle;
        }
    }

    if (right >= n || array[right] != v)
    {
        right = -1;
    }

    return right;
}

这个算法是全部这里给出的算法中最完好的一个,正确,精确且效率高.

可是这个算法的还是不能非常好的理解

能够用以下的算法，能够找出满足条件的数

int Bi_Search(int a[],int n,int b)//
{//返回等于b的第一个
	if(n==0)
		return -1;
	int low = 0;
	int high = n-1;
	int last = -1;//用last记录上一次满足条件的下标
	while (low<=high)
	{
		int mid = low +(high-low)/2;
		if (a[mid]==b)
		{
			last = mid;
			high = mid -1;
		}
		else if(a[mid]>b)
			high = mid -1;
		else
			low = mid +1;
	}

	return last;

}
int Bi_Search1(int a[],int n,int b)//大于b的第一个数
{
	if(n<=0)
		return -1;
	int last = -1;
	int low = 0;
	int high = n-1;
	while (low<=high)
	{
		int mid = low +(high - low)/2;
		if(a[mid]>b)
		{
			last = mid;
			high = mid -1;
		}
		else if (a[mid]<=b)
		{
			low =mid +1;
		}
	}

	return last;
}