简单数论问题

简单数论问题

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Problem Description

Given two positive integers a and N, satisfaing gcd(a,N)=1, please find the smallest positive integer x with a^x≡1(mod N).

Input

First is an integer T, indicating the number of test cases. T<3001.
Each of following T lines contains two positive integer a and N, separated by a space. a<N<=1000000.

Output

For each test case print one line containing the value of x.

Sample Input

2
2 3
3 5

Sample Output

2
4

Author

HYNU

 //  题意：求满足a^x mod n恒等于1 的最小x值。

//   背景：    对不论什么两个互质的正整数a, m, m>=2有

a^φ(m)≡1(mod m)    φ(m）即为m的欧拉函数

即欧拉定理

当m是质数p时，此式则为：

a^(p-1)≡1(mod m)      表示假设m是质数那么m的欧拉函数即是m-1。

即费马小定理。

//  题解：先打表出1-N的欧拉函数值然后枚举欧拉函数进行质因数分解，不断更新最小值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Max = 1000010;
int prime[Max], phi[Max]; //保存全部值的欧拉函数
void fun() //求1到max全部值的欧拉函数
{
    prime[0] = prime[1] = 0;
    for(int i = 2;i <= Max; i ++)  prime[i]=1;
    for(int i = 2; i*i <= Max; i ++)
        if(prime[i])
           for(int j=i*i;j<=Max;j+=i)
               prime[j]=0;
    for(int i=1;i<=Max;i++)
         phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=Max;i++)
        if(prime[i])
          for(int j = i; j <= Max; j += i)
              phi[j] = phi[j]/i * (i-1);
}
int Mod(int a, int b, int c) //高速幂取模  
{
    int ans = 1;
    long long aa = a;
    while(b)
    {
        if (b % 2)  ans = ans * aa % c;
        aa = aa * aa % c;
        b /= 2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
//      freopen("a.txt","r",stdin);
//      freopen("b.txt","w",stdout);
    fun();
    int t, a, n;
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        cin >> a >> n;
        int sn = (int)sqrt(phi[n]), ans = n;  //在1-sn之间枚举n的欧拉函数的因子
        for(int i = 1; i <= sn; i++) //在欧拉函数的全部因子中查找满足条件而且是最小的。

        {
            if (phi[n] % i == 0) //假设i是phi的因子  更新最小值
            {
                if (Mod(a, i, n) == 1 && ans > i)
                    ans = i;   
                if (Mod(a, phi[n] / i, n) == 1 && ans > phi[n] / i)
                    ans = phi[n] / i;
             }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}