即除间断点之外的定义域，函数都是连续的

合集 - 高等数学(8)

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函数在某点是连续的，当且仅当它在该点定义，在该点的极限存在，并且该点的极限等于函数值。

步骤 1: 定义函数的连续性 函数 f(x)f(x)f(x) 在其定义域内的某点 x=ax = ax=a 处是连续的，如果满足以下三个条件：

1. f(a)f(a)f(a) 定义。
2. 极限 lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x)limx→a​f(x) 存在。
3. lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)limx→a​f(x)=f(a)。

步骤 2: 讨论初等函数的间断点 初等函数包括多项式、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等。这些函数在其定义域内可能会有某些点不连续（即间断点）。

步骤 3: 初等函数在定义域内的连续性

• 多项式: 多项式函数在整个实数范围内（定义域内）都是连续的，没有间断点。
• 有理函数: 有理函数在分母为零的点上有间断点，但在其他定义域内的点上是连续的。
• 指数函数: 指数函数在整个定义域（所有实数）内是连续的。
• 对数函数: 对数函数在其定义域（正实数）内是连续的，但在 x≤0x \leq 0x≤0 处未定义。
• 三角函数: 正弦和余弦函数在整个实数范围内是连续的，而正切和正割函数在其未定义的点（如 x=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pix=2π​+kπ）有间断点。
• 反三角函数: 在其定义域内是连续的，但在定义域之外存在间断点。

最终答案 是的，除去间断点之外的定义域内，初等函数都是连续的。这意味着在这些函数的定义域内（不包括间断点），函数值和其极限是一致的，从而满足连续性的条件。

关键概念 函数的定义域内除去间断点，函数都是连续的。

关键概念解释 函数在某点连续的条件是函数在该点定义，该点的极限存在，并且极限值等于函数值。初等函数在其定义域内（不包括间断点）通常都满足这些条件。因此，除去间断点，初等函数在其定义域内是连续的。