剑指offer 学习笔记 位运算

位运算是把数字用二进制表示后，对每一位上的0或者1的运算。

面试题15：二进制中1的个数。请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示（即补码表示）中1的个数。例如，把9表示成二进制是1001，有2位是1。因此，如果输入9，则函数输出2。

很快我们得到一个思路，先判断该数二进制表示中右边一位是不是1，接着把输入的整数右移一位，此时原来处于从右边数起的第二位被移到最右边了，再判断是不是1，重复以上步骤直到该数变为0。判断最右边一位是否是1，只需要把要判断的数和1相与，结果为1则表示最右边一位为1，否则为0。把整数右移一位和把整数除以2是等价的，但移位运算的效率比除法高得多，用到除法的地方最好用移位运算代替：

#include <iostream>
using namespace std;

int NumberOf1(int num) {
    int count = 0;
    while (num) {
        if (num & 1) {
            ++count;
        }
        num >>= 1;
    }
    return count;
}

int main() {
    cout << NumberOf1(9) << endl;
    return 0;
}

但这种解法有一个问题，当输入的数字为负数时，大多数编译器在右移时左边会复制符号位，那么最终循环到整个数的二进制位全为1，陷入死循环。

为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字n，首先把n与1做与运算，判断n的最低位是不是1，接着把1左移一位得到2，再与n与运算判断次低位是不是1，重复以上过程，直到1变为0：

#include <iostream>
using namespace std;

int NumberOf1(int num) {
    int count = 0;
    int flag = 1;
    while (flag) {
        if (num & flag) {
            ++count;
        }
        flag <<= 1;
    }
    return count;
}

int main() {
    cout << NumberOf1(-1) << endl;    // 由于-1的补码为32个1，输出32
    return 0;
}

这个解法中，循环的次数等于二进制的位数，32位整数循环32次，接下来是一种有几个1循环几次的解法。

我们先分析将一个数减去1的情况。如果一个整数不等于0，那么该整数的二进制表示中至少有一位是1，先假设这个数的最右边的值为1，那么减去1时，最后一位变成0，而其他所有位都保持不变，相当于最后一位做了取反操作，由1变为了0。接下来假设最后一位不是1而是0时的情况，如果该数的二进制表示中最右边的1位于第m位，那么减去1时，第m位由1变为0，m位之后的所有0变为1，m位之前的所有位都保持不变。我们可以发现，当把一个数减去1的结果与这个数做与运算，会把这个数的最右边的1变为0，如1100，减去1之后变为1011，相与结果为1000。那么这个数中有几个1，重复几次此操作即可：

#include <iostream>
using namespace std;

int NumberOf1(int num) {
    int count = 0;
    while (num) {
        ++count;
        num &= (num - 1);
    }
    return count;
}

int main() {
    cout << NumberOf1(-1) << endl;
    return 0;
}

相关题目：
1.一条语句判断一个整数是否为2的整次方，如果是，那么它的二进制表示中只有一个1，根据前面分析，把这个整数减去1之后与它自己相与结果为0就是2的整数次方。
2.输入两个整数m和n，计算需要改变m的二进制表示中的多少位才能得到n。比如10的二进制位为1010，13的二进制位为1101，则需要改变三个二进制位。求解这个问题可分为两步，第一步求出这两个值的异或，最后找异或结果中有几个1。

把一个整数减去1之后结果与原来的整数做位与运算，得到的结果相当于把最右边的1变成0。