KMP算法
2011-08-06 21:14 gavin's world 阅读(206) 评论(0) 编辑 收藏 举报KMP其实就是快速模式匹配法,较朴素的模式匹配法更加快捷,时间复杂度有所降低,因为它有效避免了大量无用的回溯。
话不多说,举例子来看:
假如,A="abababaababacb",B="ababacb",我们来看看KMP是怎么工作的。我们用两个指针i和j分别表示,A[i-j+ 1..i]与B[1..j]完全相等。也就是说,i是不断增加的,随着i的增加j相应地变化,且j满足以A[i]结尾的长度为j的字符串正好匹配B串的前 j个字符(j当然越大越好),现在需要检验A[i+1]和B[j+1]的关系。当A[i+1]=B[j+1]时,i和j各加一;什么时候j=m了,我们就说B是A的子串(B串已经整完了),并且可以根据这时的i值算出匹配的位置。当A[i+1]!=B[j+1],KMP的策略是调整j的位置(减小j值)使得A[i-j+1..i]与B[1..j]保持匹配且新的B[j+1]恰好与A[i+1]匹配(从而使得i和j能继续增加)。我们看一看当 i=j=5时的情况。i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
此时,A[6]!=B[6]。这表明,此时j不能等于5了,我们要把j改成比它小的值j'。j'可能是多少呢?仔细想一下,我们发现,j'必须要使得B[1..j]中的头j'个字母和末j'个字母完全相等(这样j变成了j'后才能继续保持i和j的性质)。这个j'当然要越大越好。在这里,B [1..5]="ababa",头3个字母和末3个字母都是"aba"。而当新的j为3时,A[6]恰好和B[4]相等。于是,i变成了6,而j则变成了 4:
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
从上面的这个例子,我们可以看到,新的j可以取多少与i无关,只与B串有关。我们完全可以预处理出这样一个数组P[j],表示当匹配到B数组的第j个字母而第j+1个字母不能匹配了时,新的j最大是多少。P[j]应该是所有满足B[1..P[j]]=B[j-P[j]+1..j]的最大值。
再后来,A[7]=B[5],i和j又各增加1。这时,又出现了A[i+1]!=B[j+1]的情况:
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
由于P[5]=3,因此新的j=3:
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
这时,新的j=3仍然不能满足A[i+1]=B[j+1],此时我们再次减小j值,将j再次更新为P[3]:
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 1 2 3 4 5 6 7
现在,i还是7,j已经变成1了。而此时A[8]居然仍然不等于B[j+1]。这样,j必须减小到P[1],即0:
i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……
A = a b a b a b a a b a b …
B = a b a b a c b
j = 0 1 2 3 4 5 6 7
终于,A[8]=B[1],i变为8,j为1。事实上,有可能j到了0仍然不能满足A[i+1]=B[j+1](比如A[8]="d"时)。因此,准确的说法是,当j=0了时,我们增加i值但忽略j直到出现A[i]=B[1]为止。
下面先给出串的匹配算法代码:
2 //假定事先已经知道模式串p的特征数组N。
3 {
4 int LastIndex=s.size-p.size;
5 if(LastIndex<0)
6 return -1;
7 int i,j=0; //i指向主串;j指向模式串p;
8 for(i=0; i<=LastIndex ; i++)
9 {
10 while(p.str[j]!=s.str[i] && j>0)
11 j=N[j-1];
12 if(p.str[j]==s.str[i])
13 j++;
14 if(j==p.size)
15 return (i-j+1); //匹配成功,返回子串出现位置;
16
17 }
18 return -1; //匹配失败;
19 }
其实该算法的关键就在于求模板串的N数组,(预处理数组)
预处理不需要按照P的定义写成O(m^2)甚至O(m^3)的。我们可以通过P[1],P[2],...,P[j-1]的值来获得P[j]的值。对于刚才的B="ababacb",假如我们已经求出了P[1],P[2],P[3]和P[4],看看我们应该怎么求出P[5]和P[6]。P[4]=2,那么P [5]显然等于P[4]+1,因为由P[4]可以知道,B[1,2]已经和B[3,4]相等了,现在又有B[3]=B[5],所以P[5]可以由P[4] 后面加一个字符得到。P[6]也等于P[5]+1吗?显然不是,因为B[ P[5]+1 ]<>B[6]。那么,我们要考虑“退一步”了。我们考虑P[6]是否有可能由P[5]的情况所包含的子串得到,即是否P[6]=P[ P[5] ]+1。这里想不通的话可以仔细看一下:
1 2 3 4 5 6 7
B = a b a b a c b
P = 0 0 1 2 3 ?
P[5]=3是因为B[1..3]和B[3..5]都是"aba";而P[3]=1则告诉我们,B[1]、B[3]和B[5]都是"a"。既然P[6]不能由P[5]得到,或许可以由P[3]得到(如果B[2]恰好和B[6]相等的话,P[6]就等于P[3]+1了)。显然,P[6]也不能通过P[3]得到,因为B[2]<>B[6]。事实上,这样一直推到P[1]也不行,最后,我们得到,P[6]=0。
怎么这个预处理过程跟前面的KMP主程序这么像呢?其实,KMP的预处理本身就是一个B串“自我匹配”的过程。
给出具体实现代码:
1 int * Next(String p)
3 int m=p.size;
4 assert(m);
5 int *N=new int[m];
6 assert(N!=0);
7 N[0]=0;
8 for(int i=1;i<m ;i++)
9 {
10 int k=N[i-1];
11 while(k>0 && p.str[i]!=p.str[i])
12 k=N[k-1];
13 if(p.str[i]==p.str[k])
14 N[i]=k+1;
15 else
16 N[i]=0;
17 }
18 return N;
19 }
可以看出,Next数组只与模式串有关。
参考文献:
[1]http://www.matrix67.com/blog/archives/115/