今天我们分享一下树状数组，前置知识-了解树的结构，知道什么是左右儿子，各个节点的名称，也就是有点基础吧。今天以一个实际问题引出树状数组吧，中查询l-r的区间。（以B站大佬的课件为例子，可以关注下，在最后放上链接）

如果是暴力的话，显然时间复杂度是接受不了的（o(n方)),为了解决这个问题，我们就要用一些高级的数据结构。就是我们今天介绍的树状数组。

  首先看下树状数组是什么， 

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。
这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。(百度上的）
  然后在介绍前缀和，b[1] = a[1],b[2] = a[1] + a[2],b[3] = a[1] + a[2] +a[3]........b[n] = a[1] + a[2] + a[3] + ..... + a[n].这就是前缀和的概念，其实树状数组就是在维护一个前缀和。
  再介绍lowbit函数，用于再左右儿子或者是父节点，伪代码为 return x & (-x),就是返回某个数二进制从右往左的第一个一所代表的数，x于lowbit函数的关系如下、

             一个左儿子的父节点表示为x + lowbit(x),同理右儿子的父亲表示为 x - lowbit(x),把图画出来，是不是很像二叉搜索树，

  最后，给个树状数组的模板题吧，

 

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

 

1.将某区间每一个数加上x

 

2.求出某区间每一个数的和

 

输入输出格式

输入格式：

 

 

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

 

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

 

接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：

 

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

 

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

 

 

输出格式：

 

 

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。（洛谷的题，https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372）

输入样例

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4

输出样例

11
8
20

附上AC代码

#include<iostream> //区间查询和修改要用差分
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N =1e7 + 5;
ll n,m,x,y,c,now;
ll a,d[N],k[N],p[N];
ll opt;

inline ll lowbit(ll x)
{
return x & (-x);
}
inline void add(ll x,ll val)          //区间修改
{
for(ll i = x;i <= n;i += lowbit(i))
{
d[i] += val;
k[i] += x * val;
}
}
inline ll query(int x)                //区间查询，维护的是前缀和
{
ll res = 0;
for(ll i = x;i;i -= lowbit(i))
{
res += (x + 1) * d[i] - k[i];
}
return res;
}

 

int main()
{
cin>>n>>m;
for(register ll i = 1;i <= n;i++)
{
cin>>a;
add(i,a - now);
now = a;
}
while(m--)
{
cin>>opt;
if(opt == 1)
{
cin>>x>>y>>c;
add(x,c);
add(y + 1,-c);

}
if(opt == 2)
{
cin>>x>>y;
cout<<query(y) - query(x - 1)<<endl;
}
}
return 0;
}

 

  最后的最后附上B站大佬的链接，https://www.bilibili.com/video/av36663299?from=search&seid=7911780148837730858