0-1背包问题

0-1背包问题(0-1 knapsack problem)是这样的：一个正在抢劫商店的小偷发现了n个商品，第i个商品价值vi美元，种wi磅，vi和wi都是整数。这个小偷希望拿走价值尽量高的商品，但他的背包最多能容纳W磅重的商品，W是一个整数。他应该拿哪些商品呢？(我们称

这个问题为0-1背包问题，因为对每个商品，小偷要么把它完整拿走，要么把它留下；他不能只拿走一个商品的一部分，或者把一个商品拿走多次。)

 

接触过动态规划的同学，肯定听过0-1背包问题。动态规划的核心就是状态和状态转移方程。

设d[i][j]表示背包容量为j，商品个数为i。对于第i个商品，要么拿，要么不拿。拿的话，获得价值vi, 消耗背包容量wi，此时问题转换为d[i-1][j-wi]。

不拿的话，问题直接转换为d[i-1][j]。要获得最大价值，则d[i, j] = max(d[i-1][j-wi] + vi,  d[i-1][j])。

代码实现如下：