B树总结

 B树是一种平衡的多路查找树，一棵m阶B树或为空树，或满足下列特性：

1、  每个节点之多有m棵子树

2、  若根节点不是叶子节点，则至少有两颗子树

3、  除根之外所有非终端节点至少有[m/2]可子树([]是上取整)

4、  所有非终端节点中包含下列信息数据：(n,A0,K1,A1,K2,A2,….,Kn,An)，其中n为关键码数目，ki均为关键码，Ai为指向子树的指针，Ai中的所有关键码均在区间[ki,ki+1]中。

5、  所有终端节点均在同一层次，可将终端节点的的下一层成为叶子节点或失败节点，查找到叶子节点意味着查找失败

 

对于m阶B树

简单口诀：插入时，多了就分；删除时，不够就借，借不到就合

解释：插入时，当一个节点的关键码数目等于m时则分裂，选取中间的关键码上升为父节点中的一个关键码，其余的左右两侧分别作为其左右子树，由于父节点关键码数目增加，若有需要向上递归解决;

注意：新插入的关键码必然是从叶子节点开始，分裂也是从叶子节点开始

 

删除一个关键码，有两种情形：

情形一：关键码所在节点不是叶子节点，找到关键码的后继节点x来替换，x必然属于叶子节点，现在问题成了删除叶子节点x了，参考情形二。

情形二：待删除的关键码x属于叶子节点，若x是根节点，直接删除；x不是根节点，当关键码数量n大于[m/2]-1,直接删除； 若n等于[m/2]-1，则向左右兄弟借，如果左右兄弟的关键码数目有一个大于[m/2]-1，则借其一个；如果左右兄弟的关键码数目均等于[m/2]-1, 选择一个合并，父节点中的一个关键码也下降到合并节点中了，此时父节点关键码数目减少，递归解决；

 

性能分析：令 a=[m/2], 高度为h的B树最少节点数目为

1 + 2* { (a-1) + (a-1)a + (a-1)a^2 + …(a-1)a^(h-2) } = 2a^(h-1) -1 = 2[m/2]^(h-1)

最多节点数目为 (m-1) + (m-1)*m +(m-1)*m^1 + … + (m-1)*m^(h-1) =  m^h -1;

查找复杂即为其高度大约为 以a为底n的对数，n为节点数目，按照最大高度计算；

 

B+树，与B树不同之处：

(1)       所有关键码都存放在叶子节点

(2)       有n棵子树的节点有n个关键码

(3)       上层的关键码复写到对应子树，作为最大（最小）关键码

其他不同之处：

B+树有两个头指针，一个纸箱B+树的根节点，一个指向关键码最小的叶节点，因此在B+树上可以进行树搜索和顺序搜索，在树搜索过程中，如果非叶节点上的关键码等于给定值，搜索并不定制，而是继续沿右指针向下一直到叶节点上的关键码；

B+树插入和删除只在叶节点进行，合并和分裂与B树相同，注意更新关键码，删除时上层副本可以保留作为“分界关键码”