小白鼠试毒药问题

  题目如下：

    实验室里有1000个一模一样的瓶子，但是其中的一瓶有毒。可以用实验室的小白鼠来测试哪一瓶是毒药。如果小白鼠喝掉毒药的话，会在一个星期的时候死去，其他瓶子里的药水没有任何副作用。请问最少用多少只小白鼠可以在一个星期以内查出哪瓶是毒药：
    a. 9
    b. 10
    c. 32
    d. 999
    e. 以上都不对

    这个题目很简单，拿来复习信息论和二进制编码的粗浅知识刚好合适。

    首先呢，如果让我使用我的LabTop解题，那么简单了，用1000只小白鼠去试验，将瓶子和白鼠编号一一对应，哪只死了便是哪个瓶子里有毒啦！毕竟电脑资源很充裕，平时CPU利用率不到1%，实在是太清闲啦！在上面开辟1000个小白鼠出来还不简单！再说，这种方法虽然简单粗暴，却是最流行的用得最多的办法。不过我猜出这个题目的人是不希望看到这个答案的，因为不管是人还是小白鼠都不愿意看到小白鼠们横尸遍野的场面。记得我高中一位考上了医学院的同学说，小白鼠是很脆弱的，你拿一颗大头钉就可以把它钉到墙壁上面去。它们的腿骨轻轻一折也就断了。真是可怜啊！所以得继续分析下去。

    那么让我们先看看理论上最少得用多少小白鼠好了：1000个瓶子里只有1个是有毒药的，其它的都是好的，那问题又简单了：将瓶子依次排列起来，无毒的用0表示，有毒的用1表示，一共只可能出现1000种不同的状态。这下好了，对1000求以二为底的对数，结果小于10，但是却大于9。看来b是一个很有前途的答案！

    说到这里先打住，我们回过头看看用1000只小白鼠去试验的方法为什么不科学。随便从那1000个瓶子里取出一个来，问你是有毒的还是没有毒的，你说没有毒，那么恭喜你，极有可能你答对了！你犯错误的可能只有0.1% 。一只小白鼠的生死本身有两种完全独立的状态，可以表示1bit的信息；而随便拿出来一个瓶子，它极有可能是没有毒的，信息量只有对1000求以2为底的对数所得数值的千分之一bit那么大！即：ln(1000)/1000ln(2) bit。这个数很小，还不到0.01，看来用一只小白鼠去对付它实在太浪费了！

    也许上一段文字里面有一些你不明白的东西，其中最不明白的就是信息量怎么是那样计算的。我知道你没有学过这东西所以原谅你，但是请你相信我说的是大致正确的，并且我也不会欺骗你。小事情嘛，干吗骗人呢！要骗就在大事情上骗。其实这个算法最初是香农那家伙说的，有错误你去找他好了。

    剩下的，我们最关心的是用10只小白鼠能不能找出那个有毒的瓶子来，或者怎么才能找出来。答案是能够找出来的！用二进制编码的办法。我先说两句这个编码问题。我们小学的时候数数，从1数到9，再往下数，便是一个突破。进位了！二进制里面，你数到1，再往下数，困难了，因为里面只有0和1，连2都没有。麻烦了，到这里就得进位。好了，我们来数一数：0，1，10，11，100，101，110，111，1000，……看明白了吗？这样数下去，数到1111111111，10位，再加1就又要进位了就大于10位了，我们的小白鼠就不够用了。其实已经够了，你回头看看，我们从0到1111111111已经数了1024个数字。对付1000个瓶子还是够了的。

    现在开始解题！把上面数过的数字，长度短于10的，前面全都加上0补够10位数字。比如1101就变成了0000001101。不过它只有1+4+8=13那么大，远远没有1000大呢！哪个数字对应十进制里面的1000呢？应该是1111111111(1023)-10000(16)-100(4)-10(2)-1(1)=1111101000(1000)，这个就是十进制里面的1000。让瓶子和小白鼠都排成一列，站好了不准动，对瓶子从1到1000编号，然后把号码转化成10位长的二进制串，刚好和10只小白鼠一位对一位。一个瓶子里的二进制编号有哪几位是1，就让那些小白鼠喝下去其中的一点儿东西好了。将来那些喝了的小白鼠刚好都死了而没喝它的一只都没有死，我们就指定它有毒好啦！

    如此简单的一个问题被我说到了这个地步，不禁心中大乐，哈哈哈哈，我也会瞎扯啦！不过问题还没有完全搞定。如果告诉你有1024个瓶子，用10只小白鼠能否测出来呢？你也看到了，1111111111才有1023那么大，不到1024。其实是可以的，因为我们对瓶子是从1开始编号的，而留下了0没有使用。从0到1023可是1024个数字。

    那么，留一个家庭作业，呵呵：如果题目给的是1024个瓶子里面最多有一个瓶子有毒，还能够用10只小白鼠检测出来吗？这好像跟正零与负零有点儿关系。