Garch模型

Garch

小声逼逼一句，学长有毒吧~~让我进金融的东东，我懂个锤子😢

金融时间序列

金融资产的波动是一个非常重要的概念，它与资产的风险直接相关，因此对资产的波动模式进行建模是量化投资中的一个重要课题。一般来讲，波动建模有以下量化投资方向的应用：
期权定价：波动率是影响期权价值的重要因素；
风险度量和管理：在VaR的计算中波动率是主要影响因素，根据波动率决定交易策略的杠杆；
资产价格预测和模拟：通过Garch簇模型对资产价格的时间序列进行预测和模拟；
调仓：盯住波动率的调仓策略，如一个tracing指数的策略；
作为交易标的：在VIX、ETF以及远期中波动率作为标的可以直接交易。

上面的几行确实没明白，正确性有待考证

许良：股票收益率中的方差一般就是表示风险

嗯，这个check了一下，债券/股票等的收益率的波动性（volatility）就是风险，就是滚动风险。

金融时间序列分析的核心是找到资产收益率序列的自相关性，并利用它。川流不息

同方差&&异方差

在讲Garch模型之前，我们必须对同方差和异方差的概念进行回顾。在时间序列的弱平稳条件中二阶矩是一个不变的、与时间无关的常数。在理想条件下，如果这个假设是成立的，那么金融时间序列的预测将会变得非常简单，采用ARIMA等线性模型就能做不错的预测。然而采用Ariam等模型对金融事件序列建模效果是非常差的，原因就在于金融事件序列的异方差性。这种非平稳性无法用简单的差分去消除，其根本原因在于其二阶矩随时间t变化而变化。扯扯金融

这里说的方差是回报率(收益率)
简单的理解就是说对于普通的时间序列，一般采用取n差分或者取对数或者滞后，就可以使时间序列平稳，这个的前提是方差不随时间变化也就是同方差（此时方差是个常数，因为是不随时间变化的），这个时候可以使用ARIMA进行预测了。
但是金融时间序列的方差是随着时间变化而变化的,方差不在是一个常数了。

异方差描述的是金融时间序列大的趋势，时间跨度相对较长。金融时间序列的另一个特征是波动聚集，它是在小时间尺度下的波动特性（可以理解为小尺度下的异方差表现）。一般来讲，金融时间序列的波动具有大波动接着大波动，小波动接着小波动的特征，即波峰和波谷具有连续性。在高波动的时候，人们情绪高涨市场的势能不断积累，于是会转化成更大的波动；在低波动的时候，人们对市场的兴趣越来越低，市场逐渐会成为一摊死水。此外，金融事件序列存在波动的不对称性，在上涨时候的波动率会小于下跌时候的波动率。

波动率聚类

Garch模型作为现代的金融事件序列模型，是基于波动聚集这个特性建模的。波动聚集告诉我们当前的波动率是和过去的波动率存在一定的关系，方差的概念也相应的扩展到条件方差，所谓条件反差指的是过去时刻信息已知的方差。Garch模型认为本期的条件方差是过去N期条件方差和序列平方的线性组合，而序列是本期条件方差和白噪声的乘积。

以 2012 年 1 月 1 日到 2019 年 7 月 31 日上证指数日频对数收益率为例，假设使用 ARMA(3, 2) 对其建模，并考察其残差。下图展示了残差时序以及它的 ACF 和 Partial ACF（PACF）。

从 ACF 和 PACF 上不难看出，在很多 lags 上，自相关系数是超过 95% 的置信区间的；而从最上面一副图中也能明显看出收益率序列的一大特征 —— 波动率聚类。如果把残差取平方，并再次作图，上述波动率聚类则会变得更加直观。它在数学上被称为条件异方差（conditional heteroskedasticity）。

上述结果意味着，仅使用 ARMA 对收益率序列建模是不够的，它对条件异方差无能为力。为了解决这个问题需要对波动率建模，即使用 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity（GARCH）模型。

在采用ARMA、ARIMA模型建模后如发现残差的平方具有自相关性，那么说明有高阶的时间序列特征未被捕捉到（仍在残差中)，采用ARMA或者ARIMA模型建模是不合适的，需要采用GARCH模型建模。采用Garch建模后的序列残差即为真正的白噪声，其平方不再具有自相关性。可以证明的是，序列的Garch(p,q)模型等价于序列平方的ARMA(max(p,q),p)模型

收益率和回报率概念辨析

邵昱：就证券而言，收益率是指是所有现金流的净现值为0的折现率，回报率就是利息收入与投资的比例

基于rugarch包的Garch模型

噗，介绍一堆公式

模型

\(r_{t}=c_{1}+\sum_{i=1}^{R} \phi_{i} r_{t-i}+\sum_{j=1}^{M} \phi_{j} \epsilon_{t-j}+\epsilon_{t} \cdots \cdots(1)\) 均值方程
\(\epsilon_{t}=u_{t} \sqrt{h_{t} \cdots \cdots}(2)\) 分布假设
\(h_{t}=k+\sum_{i=1}^{q} G_{i} h_{t-i}+\sum_{j=1}^{p} A_{i} \epsilon_{t-i}^{2} \cdots \cdots(3)\) 方差方程

对三个部分进行适当的变形后可以形成egarch模型，egarch-ged模型，egarch-t模型，Igarch模型，garch-m模型和Qgarch模型等。因此，设定模型形式就是分别设定均值方程、方差方程和分布。rugarch包的优越之处正在于这里。ugarchspec函数的参数也被分解为为三个主要部分，分别是variance.model，对应式（3），mean.model，对应式（1），distribution.model对应式（2）中的\(\epsilon\)。用户通过对三个部分的参数的分别设定从而构造出自己想用的模型。蘭亭客

Datamp Garch

每日收益率

\(R_{t}=\frac{P_{t}-P_{t-1}}{P_{t-1}}\)

风险

风险/波动是用收益率的方差来计算的,因此需要先计算方差
\(\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^{T}\left(R_{t}-\hat{\mu}\right)^{2}}\)

\(\hat{\mu}\)是平均收益率

就像前面提到的，因为标准差是随时间变化的，因此是不稳定的，一般的时间序列其方差是不变的。

roll

因为不稳定，所以用滚动方差

刻画风险的一般是roa的标准差，即偏离程度。
对于同一家银行来说，样本期间的标准差值只有一个，因此为了得到标准形式的面板数据，需要对数据进行一些处理，通常是采用滚动面板回归方法。
就你的例子来说，在计算每家银行的风险指标时，每三年为一个计算区间，计算三年间银行的风险指标。原始数据样本是19家商业银行11年（如1998至2008年）的数据，共209个观测值。采取滚动平均的方式：1998年至2000为第一个计算区间，获得一组样本值;2001年至2003年为第二个计算区间，获得第二组样本值;...;2006年至2008年为第九个计算区间，获得第九组样本值。经过滚动处理，新的样本容量是19家银行九个计算区间共171个样本值，损失38个自由度。
滚动回归会损失样本量，这个无法避免。但是回归还是可以照常做的，只是损失自由度而已。就你的例子来说，有两个年份的std_roa缺失。

窗口的选择

The shorter the window, the more responsive the rolling volatility estimate is to recent returns. The longer the window, the smoother it will be.

# Load the package PerformanceAnalytics
library(PerformanceAnalytics)

# Showing two plots on the same figure
par(mfrow=c(2,1)) 

# Compute the rolling 1 month estimate of annualized volatility
chart.RollingPerformance(R = sp500ret["2000::2017"], width = 22,
     FUN = "sd.annualized", scale = 252, main = "One month rolling volatility")

# Compute the rolling 3 months estimate of annualized volatility
chart.RollingPerformance(R = sp500ret["2000::2017"], width = 66,
     FUN = "sd.annualized", scale = 252, main = "Three months rolling volatility")

GARCH与roll的区别

Rolling Variance 是 backward 预测的，也就是事后的，不具备预测能力的。
GARCH 计算的Variance 是 forward 预测的，也就是事前的，具备预测能力。

ARCH

ARCH(p)
ARCH(p) model: Autoregressive Conditional Heteroscedasticity 自回归条件异方差
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{p} \alpha e_{t-1}^{2}\)

GARCH

Generalized ARCH 广义的arch
\(\sigma_{t}^{2}=\omega+\sum_{i=1}^{p} \alpha e_{t-1}^{2}+\beta \sigma_{t-1}^{2}\)

\(R_{t}=\mu+e_{t}\)

\(e_{t} \sim N\left(0, \sigma_{t}^{2}\right)\)