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矩阵的tr

线性代数中,n乘n方阵“A”的,是指“A”的主对角线各元素的总和(从左上方至右下方的对角线),例如:

tr(A) = A1,1 + A2,2 + ... + An,n

其中 Aij 代表在 i 行 j 栏中的数值。同样的,元素的迹是其特征值的总和,使其不变量根据选择的基本准则而定。

迹的英文为“trace”,是来自德文中的“Spur”这个单字(与英文中的“Spoor”是同源词),在数学中,通常简写为“Sp”。

性质

迹是一种线性算子。亦即,对于任两个方阵AB标量r,会有下列关系:

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(rA) = r tr(A)

因为主对角线不会在转置矩阵中被换掉,所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹:

tr(A) = tr(AT)

A是一个n×m矩阵,B是个m×n矩阵,则:

tr(AB) = tr(BA)

其中ABn×n矩阵,而BAm×m矩阵。

上述可以由矩阵乘法的定义证明:

mathrm{tr}(AB) = sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m A_{ij} B_{ji} = sum_{j=1}^m sum_{i=1}^n B_{ji} A_{ij} = sum_{j=1}^m (BA)_{jj} = mathrm{tr}(BA)

利用这个结果,我们可以推导出方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹,称为迹的“循环性质”。例如,有三个方阵ABC,则:

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

更一般化地,当矩阵不被假设为方阵,但其所有乘积依然存在时,其迹依然会完全相同。

ABC为有着相同维度的方阵而且对称的话,其乘积的迹不只在循环置换下不会改变,而是在所有的置换下均不会改变,亦即

tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA) = tr(BAC) = tr(CBA) = tr(ACB)

迹拥有相似不变性,即AP?1AP会有相同的迹,尽管总是存在一相同迹但不相似的矩阵。这一性质可使上面讲过的循环性质来证明:

tr(P?1AP) = tr(PP?1A) = tr(A)

给定任一线性映射f : VVV是一有限向量空间),我们可以定义此一映射的迹为其矩阵表达式的迹,即选定V的一并描述f为一对应于此基的矩阵,再取此一方阵的迹。其结果将和所选取的基无关,当不同的基都会得出相似的矩阵。

posted on 2010-03-30 16:15  风云高  阅读(24381)  评论(0编辑  收藏  举报

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