7.26T1四分图匹配

四分图匹配

题目描述

一天晚上，zzh 在做梦，忽然梦见了她。

见到她，zzh 也不去看她，只顾低头自语……

“噫，OI 这个东西，真是无奇不有。”

“嘿，你又学了什么？”

“嗯，学到了一种算法，”zzh 装作很神秘的样子，“在生活中有着广泛的应

用，这个算法由匈牙利数学家 Edmonds 于 1965 年提出……”

“哦，那是二分图匹配？”

“咦，你不学 OI，你怎么知道？”

她微微一笑。

“哼！你又不学 OI，你说的什么二分图匹配，只是道听途说而已吧？”

“既然你这么说，那就给你出一道题。听好咯！”

定义四分图，为能将其点集分成四部分，各部分内部没有边的特殊无向图。

定义环的长度，为环中的边数。

定义四分图的一个匹配，为在四分图的边集中提取出一个子集，使得集合中

的边连起来之后，能够构成若干（设为 K）个长度为四的环，每个点最多属于一

个环，并且环上的四个顶点恰好依次取自四分图的四个子点集。其中 K 定义为

四分图的匹配数。

定义四分图的最大匹配，为匹配数最大的匹配方案。

定义四分图的两个匹配是不同的，仅当至少有一条边在一个匹配中是匹配边，

在另一个匹配中不是匹配边。

定义四分图的最大匹配方案数 S，为四分图最大匹配集合的元素个数。

现在对于一张的四分图，要求求其最大匹配数，与其最大匹配方案数。

图的总点数、总边数均不超过 100。

zzh 听完，好不容易记住了定义，结果发现并不会做……于是他只好低下头：

“唉，这题太难了……”

“好吧，那我把这题弱化一下，我把图改成一张特殊的四分图。”

记四个点集分别为 A、B、C、D，给出的四分图按如下规则构造：

点编号（均为整数）范围：

A 集：1..N B 集：1..N C 集：1..2N-1 D 集：1..2N-1

连边情况：

对于所有满足 1≤i,j≤N 的数字对，均有边

A[i]------------------B[j]

| |

C[N+i-j]------D[i+j-1] “既然图已经满足特殊性了，那么我也应该拿掉一个限制。”她笑着说，“我

把边数不超过 100 这个条件去掉。点数的范围就不更改了。”

zzh 又开始苦思冥想，他想了好多好多，想了好久好久，但是最终……

“我不会做……”zzh 低下了头，声音压得很低很低。

“服不服？”

“不服！”

“好吧，看你不服，我把问题再弱化一下！我把点数限制设为不超过 7，这

下，你总应该能做出来了吧？”

zzh 又想了好久好久，结果发现仍然是不会做……这时，床头的闹铃划破了

梦的喧嚣……

现在，zzh 只想问问大家，这题弱化版的弱化版，到底怎么做？

输入描述

一行一个数字，N。

输出描述

第一行输出 K 的最大值，第二行输出 S。

输入样例

2

输出样例

2

4

数据范围

测试点编号 N=3 4 5 6 7

 

sol：打表好题。。。

#include <cstdio>

bool ab[40][40],ac[40][40],bd[40][40],cd[40][40];
int e[1200000];
int i,j,n;
long long s;

inline void dfs(int x,int bb,int cc,int dd)
{
    if (x==n+1)
        s++;
    else
    {
        for (int b=bb;b!=0;b=b-(b&(-b)))
        {
            int i=e[b&(-b)];
            if (ab[x][i])
                for (int c=cc;c!=0;c=c-(c&(-c)))
                {
                    int j=e[c&(-c)];
                    if (ac[x][j])
                        for (int d=dd;d!=0;d=d-(d&(-d)))
                        {
                            int k=e[d&(-d)];
                            if ((bd[i][k]) && (cd[j][k]))
                                dfs(x+1,bb^(1<<(i-1)),cc^(1<<(j-1)),dd^(1<<(k-1)));
                        }
                }
        }
    }
    return;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            ab[i][j]=ac[i][n+i-j]=bd[j][i+j-1]=cd[n+i-j][i+j-1]=true;
    for (i=1,j=1;j<=2*n;i=i<<1,j++)
        e[i]=j;
    dfs(1,(1<<n)-1,(1<<(2*n-1))-1,(1<<(2*n-1))-1);
    printf("%d\n%lld\n",n,s);
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
inline ll read()
{
    ll s=0; bool f=0; char ch=' ';
    while(!isdigit(ch)) {f|=(ch=='-'); ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();}
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0) {putchar('-'); x=-x;}
    if(x<10) {putchar(x+'0'); return;}
    write(x/10); putchar((x%10)+'0');
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
int n;
int main()
{
    freopen("quadripartite.in","r",stdin);
    freopen("quadripartite.out","w",stdout);
    R(n);
    Wl(n);
    if(n==3) puts("78");
    else if(n==4) puts("4196");
    else if(n==5) puts("456920");
    else if(n==6) puts("88142144");
    else puts("27913176688");
    return 0;
}