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阿狸的基环内向树森林

Background

当阿狸醒来的时候，发现自己处在基环内向森林的深处，阿狸渴望离开这个乌烟瘴气的地方。“明天还有与桃子的约会呢”，阿狸一边走一边说，“可是，这个森林的出口在哪儿呢？”

阿狸走啊走，走啊走，就是找不到出口。不知所措的他，突然听到了一个苍老的声音：“这是一片有魔法的密林，这里的树的形态也会时不时的变化，晃晃你的小脑瓜，是不是感觉有水在流动呢？”

Description

阿狸所在的森林有 N 个节点，编号从 1 到 N。每个节点都连出去恰好一条有向边，设 i 号点连出去的点为 A[i]。同时，阿狸发现，A[i]≠i，而且 A[A[i]]≠i。

每个节点上都有一些糖果，第 i 个节点上的糖果数为 B[i]。阿狸定义一个节点的糖果稠密度为 C[i]，C[i]求法如下：

假设与 i 距离不超过 1 的点有 D[i]个（包括 i 连出去的点、连向 i 的点以及 i 自己），分别是 P[1]、P[2]…P[D[i]]。

设E[i]=⌊B[i]D[i]⌋E[i]=⌊B[i]D[i]⌋，那么C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑D[i]j=1E[P[j]]C[i]=B[i]−D[i]×E[i]+∑j=1D[i]E[P[j]]

现在阿狸想让你实现一个糖果稠密度分析仪，这个分析仪要支持三种操作：
➢ 1 i j 表示把 A[i]改为 j，保证 j≠i 且 A[j]≠i。
➢ 2 i 表示询问 C[i]的值，即点 i 的糖果稠密度。
➢ 3 表示询问所有节点中最小的 C[i]的值和最大的 C[i]的值。

Input

第一行两个正整数 N 和 Q，表示节点个数和操作个数。
第二行 N 个正整数，第 i 个数表示 B[i]。
第三行 N 个正整数，第 i 个数表示 A[i]。
接下来 Q 行，每行形如 1 i j 或 2 i 或 3 ，表示操作。

Output

有若干行，表示操作 2 和操作 3 的答案。

Sample Input

5 12
10 20 30 40 50
2 3 4 5 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
1 4 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
3

Sample Output

10
36
28
40
36
9
57
27
28
29
9 57

Data Limitation

对于测试点 1~2，保证 N,Q≤5×103N,Q≤5×103，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 3~6，保证 N,Q≤3×104N,Q≤3×104，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 7~8，保证没有 2 操作，1、3 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 9~10，保证没有 3 操作，1、2 操作出现次数均在 Q/2 左右。
对于测试点 11~12，保证任何时候 A[i]≤5，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 13~14，保证任何时候 A[i]≤100，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于测试点 15~16，保证 B[i]≤100，1、2、3 操作出现次数均在 Q/3 左右。
对于 100%的数据，保证 3≤N≤105，1≤Q≤105，1≤B[i]≤1012，1≤A[i]≤N3≤N≤105，1≤Q≤105，1≤B[i]≤1012，1≤A[i]≤N。

分析

分析那个糖果稠密度，发现可以拆分成“只与i及其周围点数量有关的式子”+“周围一圈的E”。直觉那个修改操作的变动量很少。

由于要修改A，所以想到把“周围一圈的E”拆分成“连向i的点的E”+“i连到的点的E”，然后大力维护即可。

我们可以把一个节点 i 的糖果稠密度 C[i]分成两部分，第一部分是 A[i]对 C[i]的贡献E[A[i]]，第二部分是剩下的点对 i 的贡献 C[i]-E[A[i]]，设 F[i]=C[i]-E[A[i]]。

对于一个节点 i，我们维护两个信息，一个是 E[i]，另一个是所有连向 i 的点的 F 值所构成的集合（也可以用两个堆来维护），设这个集合为 Son[i]。

对于全局我们维护一个集合 S，S 的构成如下：我们把每个节点 i 的 min(Son[i])+E[i]和 max(Son[i])+E[i]两个值加到集合 S 中。

显然，操作 2 的答案就是 E[A[i]]+F[i]，而操作 3 的答案就是 min(S)和 max(S)。

考虑操作 1 怎么维护，把 A[i]的值改成了 j，这个操作会影响的节点是 i、j、A[i]、A[j]、A[A[i]]、A[A[j]]、A[A[A[i]]]，其中 i 的 A 发生了改变， A[i]和 j 的 D、E、F 和 Son 发生了改变，于是 A[A[i]]和 A[j]的 F 和 Son 也随之改变，于是 A[A[A[i]]]和 A[A[j]]的 Son 也改变了。所以分别对这七个节点维护即可，顺便再维护一下 S，常数超级大。

总复杂度是 O(NlogN)

以上为题解

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0'); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=100005;
int i,j,k,n,m,q,ch,o,x,y;
int num[N],f[N];
ll t[N],val[N],dev[N],add[N];
multiset <ll> Ans,Son[N];
set <ll>::iterator it;
void rev(int x)
{
    if (Son[x].empty()) return;
    it=Son[x].begin();
    Ans.insert(*it+add[x]);
    it=Son[x].end();it--;
    Ans.insert(*it+add[x]);
}
void del(int x)
{
    if (Son[x].empty()) return;
    it=Son[x].begin();
    Ans.erase(Ans.find(*it+add[x]));
    it=Son[x].end();it--;
    Ans.erase(Ans.find(*it+add[x]));
}
void Rev(int x)
{
    Son[f[x]].insert(val[x]+dev[x]);
}
void Del(int x)
{
    Son[f[x]].erase(Son[f[x]].find(val[x]+dev[x]));
}
int main()
{
    freopen("forest.in","r",stdin);
    freopen("forest.out","w",stdout); 
    R(n);R(q);
    for (i=1;i<=n;i++) R(t[i]);
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        R(f[i]);
        num[f[i]]++;
    }
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        add[i]=t[i]/(num[i]+2);
        val[i]=t[i]-(num[i]+1)*add[i];
        dev[f[i]]+=add[i];
    }
    for (i=1;i<=n;i++) Rev(i);
    for (i=1;i<=n;i++) rev(i);
    for (i=1;i<=q;i++)
    {
        R(o);
        if (o==1)
        {
            R(x);R(y);
            if (f[x]==y) continue;
            del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]);
            Del(x);Del(f[x]);Del(f[f[x]]);
            dev[f[x]]-=add[x];num[f[x]]--;
            dev[f[f[x]]]-=add[f[x]];
            add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+2);
            val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+1)*add[f[x]];
            dev[f[f[x]]]+=add[f[x]];
            Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]);
            rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]);
            f[x]=y;
            del(f[x]);del(f[f[x]]);del(f[f[f[x]]]);
            Del(f[x]);Del(f[f[x]]);
            dev[f[x]]+=add[x];num[f[x]]++;
            dev[f[f[x]]]-=add[f[x]];
            add[f[x]]=t[f[x]]/(num[f[x]]+2);
            val[f[x]]=t[f[x]]-(num[f[x]]+1)*add[f[x]];
            dev[f[f[x]]]+=add[f[x]];
            Rev(x);Rev(f[x]);Rev(f[f[x]]);
            rev(f[x]);rev(f[f[x]]);rev(f[f[f[x]]]);
            continue;
        }
        if (o==2)
        {
            R(x);
            Wl(dev[x]+val[x]+add[f[x]]);
            continue;
        }
        it=Ans.begin();
        W(*it);
        it=Ans.end();it--;
        Wl(*it);
    }
}
/*
input
5 12
10 20 30 40 50
2 3 4 5 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
1 4 2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
3
output
10
36
28
40
36
9
57
27
28
29
9 57
*/