bzoj4518

征途

 HYSBZ - 4518 

Pine开始了从S地到T地的征途。

从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。

 

Input

第一行两个数 n、m。

第二行 n 个数，表示 n 段路的长度

 

Output

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

 

Sample Input

5 2

1 2 5 8 6

Sample Output

36

Hint

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

 

sol：写的我脑袋好疼啊qaq

对于斜率优化dp的题永远只会先写暴力qaq

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0'); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=3005;
int n,m;
ll a[N],Qzh[N];
ll dp[N][N];
inline ll Sqr(ll x)
{
    return x*x;
}
/*
原式:Ans=(S1-Sum/m)^2+(S2-Sum/m)^2+...+(Sm-Sum/m)^2)/m*m*m
---> Ans=m*(S1-Sum/m)^2+(S2-Sum/m)^2+...+(Sm-Sum/m)^2)
---> Ans=m*((S1^2+S2^2+...+Sm^2)-2*(S1+S2+...Sm)*Sum/m+m*Sum*Sum/m/m)
---> Ans=m*(S1^2+S2^2+...Sm^2)-2*Sum*Sum+m*Sum*Sum/m
---> Ans=m*(S1^2+S2^2+...Sm^2)-Sum*Sum
无视掉后面的常数 Sum*Sum
可以得到当S1^2+S2^2+...+Sn^2最小的时候是最优的
*/
int main()
{
    int i,j,k;
    R(n); R(m);
    for(i=1;i<=n;i++) R(a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++) Qzh[i]=Qzh[i-1]+a[i];
    memset(dp,63,sizeof dp);
    dp[0][0]=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=min(m,i);j++)
        {
            for(k=j-1;k<=i-1;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+Sqr(Qzh[i]-Qzh[k]));
            }
        }
    }
//    printf("dp[%d][%d]=%lld\n",n,m,dp[n][m]);
    Wl(dp[n][m]*m-Sqr(Qzh[n]));
    return 0;
}
/*
input
5 2
1 2 5 8 6
output
36
*/

然后我偷懒了，不写过程了，所有过程都在代码上面有（其实是因为找不到草稿纸滑稽）

/*
原式:Ans=(S1-Sum/m)^2+(S2-Sum/m)^2+...+(Sm-Sum/m)^2)/m*m*m
---> Ans=m*(S1-Sum/m)^2+(S2-Sum/m)^2+...+(Sm-Sum/m)^2)
---> Ans=m*((S1^2+S2^2+...+Sm^2)-2*(S1+S2+...Sm)*Sum/m+m*Sum*Sum/m/m)
---> Ans=m*(S1^2+S2^2+...Sm^2)-2*Sum*Sum+m*Sum*Sum/m
---> Ans=m*(S1^2+S2^2+...Sm^2)-Sum*Sum
无视掉后面的常数 Sum*Sum
可以得到当S1^2+S2^2+...+Sn^2最小的时候是最优的
然后就是斜率优化dp板子了吧qaq
dp[i][j]表示到第i位,走了j天的最小平方和

i,j,k (i<j<k) 若转移dp[k][o]时i比j优
原式dp[i][o-1]+(Qzh[k]-Qzh[i])*(Qzh[k]-Qzh[i]) <= dp[j][o-1]+(Qzh[k]-Qzh[j])*(Qzh[k]-Qzh[j])
--> dp[i][o-1]+Qzh[k]*Qzh[k]-2*Qzh[k]*Qzh[i]+Qzh[i]*Qzh[i] <= dp[j][o-1]+Qzh[k]*Qzh[k]-2*Qzh[k]*Qzh[j]+Qzh[j]*Qzh[j]
--> dp[i][o-1]-dp[j][o-1]-2*Qzh[k]*(Qzh[i]-Qzh[j]) <= Qzh[j]*Qzh[j]-Qzh[i]*Qzh[i]
见1),2),3) 可能只有3)是有用的 
1)
--> dp[i][o-1]-dp[j][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-Qzh[j]*Qzh[j] <= 2*(Qzh[i]-Qzh[j])*Qzh[k]
--> (dp[i][o-1]-dp[j][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-Qzh[j]*Qzh[j])/(2*(Qzh[i]-Qzh[j])) >= Qzh[k] (注意Qzh[i]<Qzh[j],除过去会变号)
2)
--> dp[i][o-1]-dp[j][o-1] <= (Qzh[j]+Qzh[i])*(Qzh[j]-Qzh[i])-2*Qzh[k]*(Qzh[j]-Qzh[i])
--> dp[i][o-1]-dp[j][o-1] <= (Qzh[j]+Qzh[i]-2*Qzh[k])*(Qzh[j]-Qzh[i])
即当 dp[i][o-1]-dp[j][o-1] <= (Qzh[j]+Qzh[i]-2*Qzh[k])*(Qzh[j]-Qzh[i]) i比j优,否则j比i优
3)
--> dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j] <= 2*Qzh[k]*(Qzh[i]-Qzh[j])
所以i<j<k且满足上式时i比j优
用G[i][j]表示i-j这段的斜率就是(dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j])/2*Qzh[k]*(Qzh[i]-Qzh[j])
当G[i][j]<=1时i就比j优了 同理当G[i][j]>=G[j][k]时j就没用了

Ps:以上全部在i<j<k的意义下
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0'); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=3005;
int n,m;
ll a[N],Qzh[N];
ll dp[N][N];
int Queue[N];
//满足dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j] <= Qzh[k]*2*(Qzh[i]-Qzh[j])则i比j优 
inline bool Pand(int i,int j,int k,int o) //i<j<k且i比j优 
{
    ll S1=dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j];
    ll S2=Qzh[k]*2*(Qzh[i]-Qzh[j]);
    return (S1<=S2)?1:0;
}
//G[i][j]=(dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j])/2*Qzh[ooo]*(Qzh[i]-Qzh[j]) (其中Qzh[ooo]可消去)
inline bool InvPand(int i,int j,int k,int o) //i<j<k且i比j优
{
    //G[i][j]
    ll S1=(dp[i][o-1]+Qzh[i]*Qzh[i]-dp[j][o-1]-Qzh[j]*Qzh[j])*(Qzh[j]-Qzh[k]);
    ll S2=(dp[j][o-1]+Qzh[j]*Qzh[j]-dp[k][o-1]-Qzh[k]*Qzh[k])*(Qzh[i]-Qzh[j]);
    return (S1>=S2)?1:0;
}
int main()
{
    int i,j,k;
    R(n); R(m);
    for(i=1;i<=n;i++) R(a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++) Qzh[i]=Qzh[i-1]+a[i];
    for(i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=Qzh[i]*Qzh[i];
    for(i=2;i<=m;i++)
    {
        int Head=0,Tail=0; Queue[0]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            while(Head<Tail&&(!Pand(Queue[Head],Queue[Head+1],j,i))) Head++;
            dp[j][i]=dp[Queue[Head]][i-1]+(Qzh[j]-Qzh[Queue[Head]])*(Qzh[j]-Qzh[Queue[Head]]);
            while(Head<Tail&&InvPand(Queue[Tail-1],Queue[Tail],j,i)) Tail--;
            Queue[++Tail]=j;
        }
    }
    Wl(dp[n][m]*m-Qzh[n]*Qzh[n]);
    return 0;
}
/*
input
5 2
1 2 5 8 6
output
36
*/