扩展欧几里得

 

然后是无耻的复制环节

 

扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等

 

引理 存在x，y满足 ax+by=gcd(a,b)
原式：ax1+by1=gcd(a,b) = bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)
因为 a%b=a-a/b*b
-->ax1+by1 = bx2+(a-a/b*b)y2
-->ax1+by1 = bx2+ay2-(a/b*b)y2
-->ax1+by1 = ay2+bx2-b*a/b*y2
-->ax1+by1 = ay2+b(x2-a/b*y2)
-->x1=y2; y1=x2-a/b*y2;

 

板子代码

inline void Exgcd(ll a,ll b,ll &X,ll &Y)
{
    if(b==0)
    {
        X=1;
        Y=0;
        return;
    }
    Exgcd(b,a%b,X,Y);
    int XX=X,YY=Y;
    X=YY;
    Y=XX-a/b*YY;
    return;
}

 

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法

　　先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

　　再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解

　　不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

 

 

 

exgcd 解不定方程（使用不将a与b转为互质的方法）

　　对于 ax+by=c 的不定方程，设 r=gcd(a,b)

　　当 c%r!=0 时无整数解

　　当 c%r=0 时，将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式

　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0

　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 *c/r 转变回去

　　（如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2）

　　则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

　　通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数

　　证明：

　　　　将 x , y 带入方程得

　　　　ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

　　　　ax+by=c

　　　　此等式恒成立

　　　　得证

 

 

exgcd 解线性同余方程

　　关于 x 的模方程 ax%b=c 的解

　　方程转换为 ax+by=c 其中 y 一般为非正整数

　　则问题变为用 exgcd 解不定方程

　　解得 x1=x0*c/r

　　通解为 x=x1+b/r*t

　　设 s=b/r （已证明 b/r 为通解的最小间隔）

　　则 x 的最小正整数解为 (x1%s+s)%s

　　证明：

　　　　若 x1>0，则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N)

　　　　若 x1<0，因在 C++ 里 a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0)  如 -10%4=-2

　　　　　　　　 则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N)

　　　　即为 x1 通过加或减上若干个 s 后得到的最小正整数解

　　　　得证

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完结撒花。。。。。。（黑人问号.jpg）