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 HDU - 3507 

【题目标题】：

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给出N个单词，每个单词有个非负权值Ci，现在要将它们分成连续的若干段，每段的代价为此段单词的权值和的平方，还要加一个常数M，即。现在想求出一种最优方案，使得总费用之和最小。

 

【输入格式】

包含多组测试数据，对于每组测试数据。 第一行包含两个整数N和M（0<=N<=500000，0<=M<=1000）。 第2-N+1行为N个整数。

【输出格式】

输出仅一个整数，表示最小的价值。

 

【样例输入】

5 5
5
9
5
7
5
3 0
1
2
3

【样例输出】

230
14

sol：题目中特意把n≤500000标红意思是说n2绝对凉凉
对于我这种菜鸡，只会先把暴力打出来再看
             k
对于前缀和Qzhi=∑ Ci
　           i=1

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(Qzh[i]-Qzh[j])2+m)
似乎我只会这样就完了（题解大法好！！！）

---

斜率优化dp
dp[i]=dp[j]+Qzh[i]2-2*Qzh[i]*Qzh[j]+Qzh[j]2+m
对于j<k<i,如果k比j要优
则满足 dp[k]+Qzh[i]2-2*Qzh[i]*Qzh[k]+Qzh[k]2+m ≤ dp[j]+Qzh[i]2-2*Qzh[i]*Qzh[j]+Qzh[j]2+m
消去一样的可得 dp[k]-2*Qzh[i]*Qzh[k]+Qzh[k]2 ≤ dp[j]-2*Qzh[i]*Qzh[j]+Qzh[j]2
移项可得 dp[k]+Qzh[k]2-dp[j]-Qzh[j]2 ≤ 2*Qzh[i]*(Qzh[k]-Qzh[j])
所以可知 当（j<k<i） dp[k]+Qzh[k]2-dp[j]-Qzh[j]2 ≤ 2*Qzh[i]*(Qzh[k]-Qzh[j])时 k 比 j 优
设 G[j][k]表示 G[j,k]=((dp[k]+Qzh[k]2)-(dp[j]+Qzh[j]2))/(2*Qzh[i]*(Qzh[k]-Qzh[j]))
当G[j][k]<=1 k优于j，否则j优于k （其实G[j][k]就是斜率）
当(j<k<i) 当G[j][k]>=G[k][i]，k就没用了

/*
    //dp[i]表示输出到第i位的最小费用
    //因此很容易推出dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m)
    //但是复杂度为O(n^2)，一定会超时，
                
    //假设j<k，假设k优于j
    //dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+m<dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+m
    //G[j,k]=((dp[k]+sum[k]^2)-(dp[j]+sum[j]^2))/(2*sum[i]*(sum[k]-sum[j]))<=1时
    //假设成立，也就是k优于j，否则j优于k
    //当k1<k<k2时，G[k1,k]>=G[k,k2]时，k没有用处
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+'0');    return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+'0');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=500005;
int n,m;
int Queue[N];
ll Qzh[N],dp[N];
#define Sqr(x) ((x)*(x))
inline bool Pand(int j,int k,int i) //j<k<i
{
    ll P1=dp[k]+Sqr(Qzh[k])-dp[j]-Sqr(Qzh[j]);
    ll P2=2*Qzh[i]*(Qzh[k]-Qzh[j]);
    return (P1<=P2)?(1):(0);
}
inline bool Pand_Rev(int j,int k,int i) //j<k<i
{
    ll P1=(dp[k]+Sqr(Qzh[k])-dp[j]-Sqr(Qzh[j]))*(Qzh[i]-Qzh[k]);
    ll P2=(dp[i]+Sqr(Qzh[i])-dp[k]-Sqr(Qzh[k]))*(Qzh[k]-Qzh[j]);
    return (P1>=P2)?(1):(0);
}
int main()
{
    int i,j;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            Qzh[i]=Qzh[i-1]+read();
        }
        int Head=0,Tail=0; Queue[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            while(Head<Tail&&Pand(Queue[Head],Queue[Head+1],i)) Head++;
            dp[i]=dp[Queue[Head]]+Sqr(Qzh[i]-Qzh[Queue[Head]])+m;
            while(Head<Tail&&Pand_Rev(Queue[Tail-1],Queue[Tail],i)) Tail--;
            Queue[++Tail]=i;
        }
        Wl(dp[n]);
    }
    return 0;
}
/*
input
5 5
5
9
5
7
5
3 0
1
2
3
output
230
14
*/