数据结构与算法：图形结构
数据结构与算法：图形结构
图
图形结构是一种比树形结构更复杂的非线性结构。在树形结构中，结点间具有分支层次关系，每一层上的结点只能和上一层中的至多一个结点相关，但可能和下一层的多个结点相关。而在图形结构中，任意两个结点之间都可能相关，即结点之间的邻接关系可以是任意的。
因此，图形结构被用于描述各种复杂的数据对象，在自然科学、社会科学和人文科学等许多领域有着非常广泛的应用 。图形结构在计算机科学、人工智能、电子线路分析、最短路径寻找、工程计划、化学化合物分析统计力学、遗传学、控制论语言学和社会科学等方面均有不同程度的应用可以这样说，图形结构在所有数据结构中应用最为广泛。如在地铁站中的线路图：
图的定义
图是一种数据结构，其中节点可以具有零个或多个相邻元素，两个节点的连接称之为边，节点在图形结构中也被称为顶点，一个顶点到另一个顶点的经过的的线路称为路径。
图形结构有3种类型：无向图、有向图、带权图
无向图
有向图：顶点A与顶点B之间的边是有方向的，可以从A到B，但不可以从B到A
带权图：顶点A与顶点B之间的边是带有属性的，如A到B的 距离。
图的表达方式
图的表达方式有两种：邻接矩阵(使用二维数组)和邻接表(使用数组+链表)
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中各顶点之间的关系，矩阵的行和列对应各顶点，坐标位置上的值对于它们之间的关系，1为连接, 0为没有连接。在程序中用二维数组来实现。
邻接表
邻接表只关系存在的边，不需要去为不存在的边分配空间，因此比邻接矩阵来说，避免了不必要的空间浪费。在程序中用数组+链表的形式实现，数组存储对应的顶点，链表存储该顶点连接的所有顶点。
图的搜索算法
图形结构基础属性和方法
以下的代码演示都是以邻接矩阵表达方式来实现的
//图形结构(邻接矩阵) class Graph { //存储图中所有顶点 private List<String> vertexes; //图形结构的邻接矩阵 private int[][] matrix; //各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问 private boolean[] visited; /** * 根据传入的顶点信息生成矩阵 * @param s */ public Graph(String s[]) { vertexes = new ArrayList<>(); for (String vertex : s){ vertexes.add(vertex); } matrix = new int[s.length][s.length]; } /** * 将俩个顶点连接，即生成边 * @param index1 顶点在集合中的索引 * @param index2 */ public void connect(int index1, int index2){ if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){ throw new RuntimeException("该顶点未存在"); } //将新的邻接添加的邻接矩阵中 matrix[index1][index2] = 1; matrix[index2][index1] = 1; } /** * 展示邻接矩阵 */ public void showGraphMatrix(){ for (int arr[] : matrix){ System.out.println(Arrays.toString(arr)); } } /** * 获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标 * @param row * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int row){ for(int i =0; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } /** * 获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点 * @param row * @param col * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1 */ public int getNeighbor(int row, int col){ for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } }
深度优先搜索
思路：从当前顶点选一个与之连接而未访问过的顶点，将当前节点往该邻接顶点移动，如果邻接顶点没有未访问的，则回溯到上一个顶点位置，继续该步骤。直到所有顶点都访问过。
往邻接但未访问过的顶点移动
邻接顶点没有未访问的，进行回溯，直到遇到未访问的邻接顶点
当所有顶点都被访问过时，退出算法
下面是深度优先搜索的过程动画
代码演示
public void dsf(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; //以在集合中下标为0的顶点，进行深度搜索 dsf(visited, 0); } /** * 深度优先搜索 * @param visited * @param row */ public void dsf(boolean[] visited, int row){ //输出当前顶点 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //将当前顶点设为已访问 visited[row] = true; //获取当前顶点的邻接顶点下标 int index = getFirstNeighbor(row); //如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索 while (index != -1){ //当邻接顶点未访问时，则递归遍历 if (visited[index] != true){ dsf(visited, index); } //当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点 index = getNeighbor(row, index); } }
宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。
宽度优先搜索算法类似于一个分层搜索的过程，宽度优先搜索算法需要一个队列以保持访问过顶点的顺序，以便按这个顺序来访问这些顶点的邻接顶点。
思路：依次访问当前顶点的邻接顶点，并按访问顺序将这些邻接顶点存储在队列中，当当前顶点的所有邻接顶点都被访问后，从队列中弹出一个顶点，以该顶点为当前顶点继续该步骤，直到所有顶点都被访问过。
依次访问当前顶点的所有邻接顶点，并把这些邻接顶点按访问顺序存储在队列中
当前顶点没有未访问的邻接顶点，从队列中弹出一个顶点，以该弹出顶点继续访问未访问的邻接顶点
注意，虽然图中的顶点都已经访问过了，但还是要等队列中的所有顶点弹出访问后，算法才结束
下面时宽度优先搜索的过程动画
代码演示
public void bfs(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; ////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索 bfs(visited, 0); } /** * 广度优先搜索 * @param visited * @param row */ public void bfs(boolean[] visited, int row){ //创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //输出当前顶点 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //将当前顶点设为已访问 visited[row] = true; //将当前顶点加入队列中 queue.add(row); //当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索 while (!queue.isEmpty()){ //按顺序从队列中弹出邻接顶点下标 int last = (Integer)queue.removeFirst(); //获取该弹出顶点的邻接顶点下标 int index = getFirstNeighbor(last); //当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索 while(index != -1){ //当邻接顶点未访问时 if(visited[index] != true){ //输出该邻接顶点 System.out.print(vertexes.get(index) + " -> "); //把该邻接顶点设为已访问 visited[index] = true; //将该邻接顶点加入队列 queue.addLast(index); } //继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点 index = getNeighbor(last, index); } } }
public class GraphDemo { public static void main(String[] args) { String[] s = {"A","B","C","D","E","F","G"}; Graph graph = new Graph(s); //A-B A-C A-G A-F F-D F-E D-E E-G graph.connect(0, 1); graph.connect(0, 2); graph.connect(0, 6); graph.connect(0, 5); graph.connect(5, 3); graph.connect(5, 4); graph.connect(3, 4); graph.connect(4, 6); graph.showGraphMatrix(); graph.dsf();//A -> B -> C -> F -> D -> E -> G -> System.out.println(); graph.bfs();//A -> B -> C -> F -> G -> D -> E -> } } //图形结构 class Graph { //存储图中所有顶点 private List<String> vertexes; //图形结构的邻接矩阵 private int[][] matrix; //各顶点访问情况，true为已访问，false为未访问 private boolean[] visited; /** * 根据传入的顶点信息生成矩阵 * @param s */ public Graph(String s[]) { vertexes = new ArrayList<>(); for (String vertex : s){ vertexes.add(vertex); } matrix = new int[s.length][s.length]; } /** * 将俩个顶点连接，即生成边 * @param index1 顶点在集合中的索引 * @param index2 */ public void connect(int index1, int index2){ if (index1 < 0 || index1 > matrix.length || index2 < 0 || index2 > matrix.length){ throw new RuntimeException("该顶点未存在"); } //将新的邻接添加的邻接矩阵中 matrix[index1][index2] = 1; matrix[index2][index1] = 1; } /** * 展示邻接矩阵 */ public void showGraphMatrix(){ for (int arr[] : matrix){ System.out.println(Arrays.toString(arr)); } } public void dsf(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; //以在集合中下标为0的顶点，进行深度优先搜索 dsf(visited, 0); } /** * 深度优先搜索 * @param visited * @param row */ public void dsf(boolean[] visited, int row){ //输出当前顶点 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //将当前顶点设为已访问 visited[row] = true; //获取当前顶点的邻接顶点下标 int index = getFirstNeighbor(row); //如果当前顶点有邻接顶点则进行深度搜索 while (index != -1){ //当邻接顶点未访问时，则递归遍历 if (visited[index] != true){ dsf(visited, index); } //当邻接顶点已访问时，则寻找另一个邻接顶点 index = getNeighbor(row, index); } } public void bfs(){ visited = new boolean[vertexes.size()]; ////以在集合中下标为0的顶点，进行广度优先搜索 bfs(visited, 0); } /** * 广度优先搜索 * @param visited * @param row */ public void bfs(boolean[] visited, int row){ //创建队列，存储遍历邻接顶点的顺序 Queue queue = new ArrayDeque(); //输出当前顶点 System.out.print(vertexes.get(row) + " -> "); //将当前顶点设为已访问 visited[row] = true; //将当前顶点加入队列中 queue.add(row); //当队列不为空时，即有未搜索的邻接顶点，进行搜索 while (!queue.isEmpty()){ //按顺序从队列中弹出邻接顶点下标 int last = (Integer)queue.poll(); //获取该弹出顶点的邻接顶点下标 int index = getFirstNeighbor(last); //当弹出顶点有邻接顶点时，进行广度搜索 while(index != -1){ //当邻接顶点未访问时 if(visited[index] != true){ //输出该邻接顶点 System.out.print(vertexes.get(index) + " -> "); //把该邻接顶点设为已访问 visited[index] = true; //将该邻接顶点加入队列 queue.add(index); } //继续寻找弹出顶点的另一个邻接顶点 index = getNeighbor(last, index); } } } /** * 获取顶点在邻接矩阵对应行row中的第一个邻接顶点下标 * @param row * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int row){ for(int i =0; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } /** * 获取顶点在邻接矩阵对于行row中col列的下一个邻接顶点 * @param row * @param col * @return 当有邻接顶点时返回邻接顶点下标，没有则返回-1 */ public int getNeighbor(int row, int col){ for (int i=col+1; i<matrix.length; i++){ if (matrix[row][i] != 0){ return i; } } return -1; } }
