今天你玩24点了吗？

 

24点的规则十分简单：                                    

从52张牌里面随便抽4张，经过加减乘除和括号进行运算，得到24点即为胜利。

数学化后就是：

有1、2、3……13 共13组，可重复抽样，抽取4次，得到的4个数进行加减乘除和括号组合的运算，结果要求是24。

简单的：

比如 1 2 3 4显然 1* 2 *3*4为24，而1 1 1 1 显然最大只能产生4而无法产生24……

那么给4个数字之后除了乱试之外，有没有一些方法可以保证你可以断言它有没有解呢？ 很容易，暴力遍历。

一、对于两个数a,b:

     产生的可能的运算结果一定包含于下面的集合中：{  a+b,a-b,b-a,a*b,a/b(b不为0),b/a(a不为0) }，这个十分容易，小学生也可以轻易的想出来。记作R(ab)

二、 那么继续，三个数a,b,c的运算结果有哪些呢？ 

     对于abc的全排列的每一种，先求出前两个数的可能结果集合B，c和集合B中每一个元素再进行前面的计算，最后得到集合C 

      将abc全排列的每一种计算出的C并起来就可以得到所有可能的结果了。

简单来说，就是 R(abc)=R ( R(ab) c)

三、 对于四个数:

     R(abcd)=R(R(ab)R(cd)) ∪ R(R(abc)d)

此时随便输入4个位于1-13的数字，就可以断定它是否可以组成24点，若可以，还可以告诉我们是如何算出的，如果不可以，则会提示no 。

当然其实还有其它的方法来做这件事情，但没有上面的直接，比如可以使用后缀表达式来表示计算式，这样就不用关注括号的问题了，比如三个数字abc的结果:a b c op op, b c op a op两种结构，当然对于abc的全排列的每一种都会产生对应的结果。

更有趣的是，如果遍历所有可能的情况就可以得到所有可以实现24点的情况，那么所有可能的情况是什么呢？上面已经提到了是一个可重复抽样，那么计算公式就是C(n-m+1,m)，具体而言就是

         for(i from 1 to 13)

                  for (j from i to 13)

                           for( p from j to 13)

                                     for(q from p to 13)

                                               generate [i j p q]

最后得到的ijpq就是一次符合条件的抽样了。

随便举个例子，输入4 7 9 12 会告诉你解法是9+12-(4-7)~

最后发现，24点的所有可能抽样1820种中，有1362中都可以组成24点！概率为74.83%

         24 的因子很多:2 4 6 8 12 ，在超过20的数中，组成24点的可能数是最大的！所以24点游戏才比较多样好玩~

         20点以下有一些数字的成功概率比24点还要大，最极端的：2点的成功率高达96%，也就是说，如果玩2点的话，抽到的4张牌基本上都可以组成2点，所以凑不出来的话基本上是你自己的问题啦。当然2太小了，说不去不够气魄，而且2的因子比较少，凑成2 的方法比较少，基本上就是通过1+1，1*2，2/1或者a-(a-2)等方法来凑，感觉比较容易试出来。

最后附一章图片：纵坐标为成功概率(可以凑出该点数的种类数/所有可能抽到牌的种类数),横纵标为对应的点数（从0到100）

容易发现24是20之后最高的点，并且36、48、60、72也是比较高的峰值，因为他们的因子都比较多，但为何它们的种类数没有24点高呢？因为这些数比较大，用4个1-13的数值来凑的话反而导致没有24点多，但如果采用比如更多张的牌(比如两幅扑克),72、60等的成功率应该是更高的。