{ "熵码匠艺": "Software Craftsmanship" }

摘要： 对于全源最短路径问题（All-Pairs Shortest Paths Problem），可以认为是单源最短路径问题的推广，即分别以每个顶点作为源顶点并求其至其它顶点的最短距离。Johnson 算法描述如下：给定图 G = (V, E)，增加一个新的顶点 s，使 s 指向图 G 中的所有顶点都建立连接，设新的图为 G’；对图 G’ 中顶点 s 使用 Bellman-Ford 算法计算单源最短路径，得到结果 h[] = {h[0], h[1], .. h[V-1]}；对原图 G 中的所有边进行 "re-weight"，即对于每个边 (u, v)，其新的权值为 w(u, v) + (h[u] - h[v])；移除新增的顶点 s，对每个顶点运行 Dijkstra 算法求得最短路径；Johnson 算法的运行时间为 O(V2logV + VE)。 阅读全文

摘要： Floyd-Warshall 算法采用动态规划方案来解决在一个有向图 G = (V, E) 上每对顶点间的最短路径问题，其中图 G 允许存在权值为负的边，但不存在权值为负的回路。Floyd-Warshall 算法的运行时间为 Θ(V^3)。Floyd-Warshall 算法的设计基于了如下观察。设带权图 G = (V, E) 中的所有顶点 V = {1, 2, . . . , n}，考虑一个顶点子集 {1, 2, . . . , k}。对于任意对顶点 i, j，考虑从顶点 i 到 j 的所有路径的中间顶点都来自该子集 {1, 2, . . . , k}，设 p 是该子集中的最短路径。Floyd-Warshall 算法描述了 p 与 i, j 间最短路径及中间顶点集合 {1, 2, . . . , k - 1} 的关系，该关系依赖于 k 是否是路径 p 上的一个中间顶点。 阅读全文

摘要： Dijkstra 算法又称为单源最短路径算法，由计算机科学家 Edsger Dijkstra 于 1956 年构思并于 1959 年发表。其解决的问题是：给定图 G 和源顶点 v，找到从 v 至图中所有顶点的最短路径。Dijkstra 算法的初始实现版本并未使用最小优先队列实现，其时间复杂度为 O(V^2)。Leyzorek et al 在 1957 提供了基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本，其时间复杂度为 O(VlogV)。 阅读全文

摘要： Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年。Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。 阅读全文

摘要： Prim 算法是一种解决最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）的算法。和 Kruskal 算法类似，Prim 算法的设计也是基于贪心算法（Greedy algorithm）。Prim 算法的思想很简单，一棵生成树必须连接所有的顶点，而要保持最小权重则每次选择邻接的边时要选择较小权重的边。Prim 算法看起来非常类似于单源最短路径 Dijkstra 算法，从源点出发，寻找当前的最短路径，每次比较当前可达邻接顶点中最小的一个边加入到生成树中。 阅读全文

摘要： 对于一个给定的连通的无向图 G = (V, E)，希望找到一个无回路的子集 T，T 是 E 的子集，它连接了所有的顶点，且其权值之和为最小。因为 T 无回路且连接所有的顶点，所以它必然是一棵树，称为生成树（Spanning Tree），因为它生成了图 G。显然，由于树 T 连接了所有的顶点，所以树 T 有 V - 1 条边。一张图 G 可以有很多棵生成树，而把确定权值最小的树 T 的问题称为最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）。术语 "最小生成树" 实际上是 "最小权值生成树" 的缩写。Kruskal 算法提供一种在 O(ElogV) 运行时间确定最小生成树的方案。Kruskal 算法基于贪心算法（Greedy Algorithm）的思想进行设计，其选择的贪心策略就是，每次都选择权重最小的但未形成环路的边加入到生成树中。 阅读全文

摘要： 给定一个有向图 G = (V, E) ，对于任意一对顶点 u 和 v，有 u --> v 和 v --> u，亦即，顶点 u 和 v 是互相可达的，则说明该图 G 是强连通的（Strongly Connected）。如下图中，任意两个顶点都是互相可达的。实际上，解决该问题的较好的方式就是使用强连通分支算法（SCC：Strongly Connected Components），可以在 O(V+E) 时间内找到所有的 SCC。如果 SCC 的数量是 1，则说明整个图是强连通的。实现 SCC 的一种算法就是 Kosaraju 算法。Kosaraju 算法基于深度优先搜索（DFS），并对图进行两次 DFS 遍历。Kosaraju 算法的思想就是，如果从顶点 v 可以抵达所有顶点，并且所有顶点都可以抵达 v，则说明图是强连通的。 阅读全文

摘要： 有向图 G = (V, E) 的一个强连通分支（SCC：Strongly Connected Components）是一个最大的顶点集合 C，C 是 V 的子集，对于 C 中的每一对顶点 u 和 v，有 u --> v 和 v --> u，亦即，顶点 u 和 v 是互相可达的。通过 Kosaraju 算法，可以在 O(V+E) 运行时间内找到所有的强连通分支。Kosaraju 算法是基于深度优先搜索（DFS），算法的描述如下：创建一个空的栈 S，并做一次 DFS 遍历。在 DFS 遍历中，当在递归调用 DSF 访问邻接顶点时，将当前顶点压入栈中；置换图（Transpose Graph）；从栈 S 中逐个弹出顶点 v，以 v 为源点进行 DFS 遍历。从 v 开始的 DFS 遍历将输出 v 关联的强连通分支。 阅读全文

摘要： Union-Find 算法为不相交集合数据结构中的非常有用的操作。其通常使用链表或一维数组来实现，另一种实现方式是使用有根树来表示集合，树中的每个节点都包含集合的一个成员，每棵树表示一个集合，形成不相交集合森林（Disjoint-set forest）。每棵树的根包含了集合的代表，并且是它自己的父节点。通过引入两种启发式策略，可以获得目前已知的、渐进意义上最快的不想交集合数据结构。第一种启发式策略是按秩合并（Union by Rank），其思想是使包含较少节点的树的根指向包含较多节点的树的根。第二种启发式策略是路径压缩（Path Compression），在 Find 操作中，使查找路径上的每个节点都直接指向根节点。路径压缩并不改变节点的秩（Rank）。 阅读全文

摘要： 不相交集合数据结构（Disjoint-set）是一种用于跟踪集合被分割成多个不相交的子集合的数据结构。Union-Find 算法为该数据结构提供了两种非常有用的操作：Find：判断子集合中是否存在特定的元素。可以用于检测是否两个元素存在于相同的子集合中。Union：将两个不子集合合并成新的子集合。Union-Find 算法的一个具体的应用就是在无向图（Undirected Graph）中检测是否存在环。 阅读全文