平衡查找树（2-3-4 树）
二叉查找树（Binary Search Tree）在很多情况下可以良好的工作，但它的限制是最坏情况下的渐进运行时间为 O(n)。
平衡查找树（Balanced Search Tree）的设计则是保证其高度在最坏的情况下为 O(log n)，其插入、删除和查找可以实现渐进运行时间 O(log n)。
现在其实存在很多种类的平衡查找树，常见的有 AVL树、红黑树、B 树等。
不同的平衡查找树的高度（height）：
2-3 树
2-3 树中节点和存储的元素符合如下性质要求：
- 任一节点只能是 2 度节点或 3 度节点，不存在元素数为 0 的节点。
- 2 度节点：包含 1 个元素的节点将只能有 2 个子节点；
- 3 度节点：包含 2 个元素的节点将只能有 3 个子节点；
- 所有叶子节点都拥有相同的深度（depth）。
- 元素始终保持排序顺序。
相比二叉查找树，2-3 树的优势：
2-3 树可以获得更好的渐进查找时间 O(log2 n)。
2-3 树更容易保持树的平衡。
插入操作
将元素 I 插入到 2-3 树中，需要如下步骤：
- 定位元素 I 应被插入的叶子节点的位置；
- 将 I 插入到该叶子节点中；
- 如果叶子节点此时仅包含 2 个元素，则插入操作结束；
- 如果叶子节点此时包含 3 个元素，则需要分裂叶子节点成两个新的节点；
2-3-4 树（2-4 树）
2-3-4 树中节点和存储的元素符合如下性质要求：
- 任一节点只能是 2 度节点、3 度节点或 4 度节点，不存在元素数为 0 的节点。
- 2 度节点：包含 1 个元素的节点将只能有 2 个子节点；
- 3 度节点：包含 2 个元素的节点将只能有 3 个子节点；
- 4 度节点：包含 3 个元素的节点将只能有 4 个子节点；
- 所有叶子节点都拥有相同的深度（depth）。
- 元素始终保持排序顺序。
2 度节点 3 度节点 4 度节点
其中，每个子节点仍是一棵 2-3-4 树，但子节点可能为空。
在 2-3-4 树中，所有叶子节点都在同一层，也就是最底层。但是元素却可以出现在所有节点中，也就是说，即使是叶子节点，也可以包含1、2 或 3 个元素，但不能没有元素。2-3-4 树保持着完美的平衡，每一条到叶子节点的路径都是等长的。
非叶子节点必须拥有至少 1 个子节点。设节点的子节点的数量为 L，节点包含元素的数量为 D，则：L = D + 1 。
因为 2-3-4 树中的节点至多包含 4 个子节点，所以该树叶称为 4 阶多路树（multiway tree of order 4）。
查找节点
在 2-3-4 树中查找结点，分为以下几个步骤：
- 将被查找的元素与节点中存储的元素进行比较；
- 查找包含被查找元素的区间；
- 若区间存在，则移至子节点，回到第 1 步继续查找；
插入节点
插入节点时，将从根节点开始查找，步骤如下：
- 如果当前节点为 4 度节点（也就是有 3 个元素）：
- 移除并保存节点中间的元素值，然后生成一个 3 度节点（仅有 2 个元素）；
- 将该 3 度节点分裂成一对 2 度节点（仅有 1 个元素）；
- 如果当前节点是根节点：
- 被保存的中间值将被设置为新的根节点，该根节点为 2 度节点，则树的高度将增加 1；
- 否则，将中间值加入父节点中。
- 查找子节点中可以包含被插入值的区间；
- 如果找到的节点是一个叶子节点，则将被插入值放入该节点中，插入操作结束；
- 否则，继续查找子节点，或回到步骤 1。
例如，现在要将值 "25" 插入到如下的 2-3-4 树中：
从根节点（10,20）开始查找，向子树查找，直到找到子节点（22,24,29）。因为区间（20,∞）包含 25。
节点（22,24,29）是一个 4 度节点，所以将其中间值 24 推到父节点中。
剩下的 3 度节点（22,29）将被分裂成一对 2 度节点，也就是（22）和（29）。新的父节点为（10,20,24）。
在下降到右侧子节点（29）。因为区间（24-29）包含 25。
节点（29）没有左孩子。可将 25 直接插入到该节点中，插入完毕。
节点的分裂方式
将 4 度节点分裂的方式如下：
如果一个 4 度节点的父节点是一个 2 度节点，则将按如下方式分裂 4 度节点：
如果一个 4 度节点的父节点是一个 3 度节点，则将按如下方式分裂 4 度节点：
删除节点
情况1：临近兄弟节点是 3 度节点或 4 度节点。
解决方案：通过旋转操作和移动子树来从临近节点偷元素（steal）。
情况2：临近兄弟节点是 2 度节点。
解决方案：通过与临近兄弟节点合并，并从父节点偷元素。
参考资料
本文《平衡查找树》由 Dennis Gao 发表自博客园博客，任何未经作者本人允许的人为或爬虫转载均为耍流氓。
