拓扑排序

拓扑排序

1. 拓扑排序的定义

    拓扑排序是bfs的一个应用。拓扑排序只针对于有向图，无向图没有拓扑排序。
    对于上图的序列我们可以看到如下特点：
        对于图中的每一条边(x,y)，在拓扑序列中都表现为x在y之前。
    如果某一个序列满足以上特点，那么这个序列就称之为拓扑序列。

    需要注意的是，并不是每一个图都有拓扑序列，例如上图。上图是一个环，换句话说：只要图中有环，那么这个图是没有拓扑序列的，也就无法进行拓扑排序。
    需要注意的是：可以证明，一个有向无环图，一定存在拓扑序列。一个有向无环图一定存在至少一个入度为0的点。因此，有向无环图也称为拓扑图。

    注意：一个有向无环图拓扑序列是不一定唯一的。

2. 拓扑排序的思想

    在了解拓扑排序之前，我们需要先了解节点度的概念。
    度分为入度和出度。
    1.  某个节点x的入度指的就是：有多少个节点指向x节点。
    2.  某个节点x的出度指的就是：x节点分别指向了多少个节点。
    具体可以看上图。

    了解了度的概念之后，我们就可以阐述拓扑排序的过程了。
        1.  在图中找到所有入度为0的点，进行入队。
        2.  从队头依次取出元素，遍历该元素的所有出边。
        3.  删掉出边，会导致该元素所邻接的点的入度-1。
    重复上述过程，会导致两种结果：
        1.  如果所有节点均遍历过（均入过队），那么该图存在拓扑序列，输出即可。
        2.  如果仍有节点没有遍历过（有些节点无法入队），那么该图不存在拓扑序列（该图存在环），输出信息。
    具体可以看上图。

3. 模板

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    // d[i] 存储点i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

4. 例题

https://www.acwing.com/problem/content/850/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N],e[N],ne[N],idx = 0;

int q[N];
int hh = 0,tt = -1;
//代表每个节点的入度
int d[N];
int n,m;

void add(int a,int b){
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

bool topSort(){
    //找到所有入度为0的点，进行入队
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(d[i] == 0){
            q[++tt] = i;
        }
    }
    while(hh <= tt){
        int t = q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
            //删除出边(邻接点入度-1)
            d[e[i]]--;
            //如果入度为0，入队
            if(d[e[i]] == 0){
                q[++tt] = e[i];
            }
        }
    }
    //如果所有节点均入队，那么存在拓扑序列，反之不存在
    return tt == n-1;
}



int main(){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
        d[b]++;
    }
    //如果该图存在拓扑排序
    if(topSort()){
        //队列中的序列刚好就是拓扑序列
        for(int i=0;i<n;i++){
            printf("%d ",q[i]);
        }
    }else{
        printf("-1");
    }
    return 0;
}

    作者：gao79138
    链接：https://www.acwing.com/
    来源：本博客中的截图、代码模板及题目地址均来自于Acwing。其余内容均为作者原创。
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。