单调队列及模板

单调队列及模板

1.单调队列的应用场景

    单调队列的应用场景也比较单一，主要围绕着如下问题进行展开：
    求滑动窗口中的最大值/最小值。

2.暴力做法分析

    我们可以用队列来维护一个滑动窗口。在窗口的滑动过程中，实际上就是在往队列中添加/删除元素的过程。（具体来说，当窗口往右移动时，实际上就是在队尾中添加一个元素，在队头删除一个元素的过程。）在算法的执行过程中，队列里面始终保存当前窗口中的元素。
    那么，对于上述问题的暴力做法是什么呢？我们可以每次遍历队列当中的元素，进而找到最大值和最小值即可。这样的话，就找到了滑动窗口中的最大值/最小值。
    因此，对于上述的暴力做法，如果滑动窗口的长度为k，那么遍历一遍，时间复杂度就是O(k)。再加上滑动窗口的滑动过程，每个元素最多都是进队一次，出队一次。因此，滑动窗口本身滑动过程的时间复杂度就是O(n)。由于滑动窗口每滑动一次，就需要将窗口遍历一遍，因此时间复杂度就是O(nk)。

3.单调队列的执行过程

    我们以上图的滑动窗口来进行举例。
    我们可以发现，当我们求滑动窗口的最小值时，由于当前窗口中3和-1均在-3的左边(代表在窗口的滑动过程中，3和-1均比-3要更早的出队)，且比-3要大(代表只要-3在窗口中，这两个数字永远都不会被当作答案来进行输出)。因此，满足以上两个条件的3和-1就是没有用的元素（与-3构成了逆序对），应当进行删除。
    因此，根据上述例子，我们可以发现：
    只要在队列中存在满足上述条件的情况（ax >= ay 且 x < y），我们就应该把没有用的元素（ax）进行删除。这样的话，当删除之后，队列里面的元素均是满足严格单调递增的，这也是单调队列这个名称的由来。并且，当我们求滑动窗口的最小值时，由于队列当中的元素都是严格单调递增的，因此队头元素即可满足要求。
    如果求得是滑动窗口中的最大值，那么队列当中的元素应满足严格单调递减这样的性质。

    根据上述算法，我们如何知道队列在什么时候出队呢？
    在这道题中，i始终指向队列的尾部，k代表窗口的长度，并且队列中存储的是值对应的下标，而不是值本身。因此，我们只需要判断：当下标不在i-k+1~i这个区间内，那么这个下标所对应的值就不在窗口中，此时就需要出队了。

4.单调栈和单调队列的共性

    对于单调栈和单调队列，我们可以发现：
    1.  都是先通过栈和队列进行暴力求解。
    2.  在暴力求解中寻找单调性，进一步实现优化。
    3.  在进行优化的过程中，我们可以发现栈/队列中的元素均满足严格单调递增或递减。这样的话，如果我们想寻找栈/队列中的最大值/最小值，我们直接找端点即可。如果我们想要寻找栈/队列中的某一个元素，那么我们可以利用二分法寻找即可。

5. 单调队列模板

// 常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
    while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ;  // 判断队头是否滑出窗口
    while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ;
    q[ ++ tt] = i;
}

6.单调队列例题

https://www.acwing.com/problem/content/156/

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int a[1000010],q[1000010];
int hh = 0,tt = -1;

int main(){
    int n,k;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        //如果队列不为空且队头元素所在下标并不在指定范围内
        //那么将队头划出窗口
        while(hh <= tt && q[hh] < i-k+1){
            hh++;
        }
        //如果队列不为空且ai左侧的窗口中的元素均大于等于ai，那么就应该踢出队列。
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]){
            tt--;
        }
        //优化过后，把ai（下标）放入到队列中
        q[++tt] = i;
        //满足题目条件，再进行输出
        if(i >= k-1){
            printf("%d ",a[q[hh]]);
        }
    }
    printf("\n");
    //重新进行队列的初始化
    hh = 0,tt = -1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        //如果队列不为空且队头元素所在下标并不在指定范围内
        //那么将队头划出窗口
        while(hh <= tt && q[hh] < i-k+1){
            hh++;
        }
        //如果队列不为空且ai左侧的窗口中的元素均小于等于ai，那么就应该踢出队列。
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]){
            tt--;
        }
        //优化过后，把ai（下标）放入到队列中
        q[++tt] = i;
        //满足题目条件，再进行输出
        if(i >= k-1){
            printf("%d ",a[q[hh]]);
        }
    }
    return 0;
}

    作者：gao79138
    链接：https://www.acwing.com/
    来源：本博客中的截图、代码模板及题目地址均来自于Acwing。其余内容均为作者原创。
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