单调栈及模板

单调栈及模板

1.单调栈的应用

    单调栈的应用是非常有限的，一般只适用于如下的模型：
    给定一个序列，对于序列中的每一个数，找到这个数左边/右边离它最近的比它大/小的数是谁？如果找不到，返回-1或其他操作。
    如果某一个问题，满足上述的模型，那么我们就可以用单调栈来进行解决。

    例如，我们可以通过如上的案例，来求得：一个序列（3 4 2 7 5 ）中，对于每一个数，左边离它最近的且比它小的数是谁，如果不存在，则返回-1。

2. 暴力解法分析

    对于上述问题，我们可以采用如上的暴力算法来进行求解。

    但是，对于上述的做法，时间复杂度很高，是O(n²)。因此，我们可以使用单调栈来进行优化。

3. 单调栈的过程

    对于上述的暴力解法，我们可以运用一个栈来进行等价化。
    具体来说，每当i往后进行移动时，i之前的元素都会存入到栈中。例如，当遍历到元素ai时，栈中会存放a1,a2,...,ai-1(其中a1在栈底,ai-1在栈顶)。当寻找离ai最近的且比它小的元素时，从栈顶到栈底遍历，找到第一个满足条件的元素即为答案。
    但是，对于上述的做法，时间复杂度仍是没有改变。那么我们如何从上述的做法中提取出一些性质，来达到优化的目的呢？

    根据上述的做法，我们可以发现如下性质：
    1. 对于栈中的元素，如果存在两个元素ax和ay, 满足：ax >= ay 且 x < y。（实际上，不严格来说，ax和ay是一对逆序）那么，对于上述的条件（离ai最近的且比它小的元素）话，ax永远不会作为答案输出。（因为，ay比ax更好）
    2. 因此，对于上述的性质，我们可以将栈中所有类似于ax这样的元素删掉。删掉之后，我们不难发现，栈中的元素均满足严格单调递增这样的性质。这也是单调栈这个数据结构的由来。
    3. 根据上述的结论，我们可以得出单调栈的过程如下：
        首先，我们以ai为基准，要寻找离ai左边最近的且比它小的元素。
        1.  我们从栈顶开始遍历，如果栈顶元素比它小，由于栈中均是满足单调递增这个性质，因此栈顶及之后的元素均比它小，因此栈顶就是答案，且把ai放入到栈顶中。
        2.如果栈顶元素比它大，那么栈顶元素永远不会作为答案进行输出。（为什么？假设，我们要考察ai+1这个元素，那么如果栈顶元素和ai均比ai+1要小，且栈顶元素大于等于ai，那么答案一定是ai而不是栈顶元素。所以，根据上述情况栈顶元素永远都不会作为答案输出。）因此把栈顶元素删掉，继续查看栈顶元素，直到找到第一个比它小的数为止。那么，此时就找到了答案，并将ai放入到栈顶中即可。
        3.对于其他的数也是如此。
    这样的话，我们就利用了单调栈来优化了问题。

    因此，对于这样的问题，我们可以得出一个结论：
        如果，题目要求找到每个数左边离它最近的且比它小的数。
        答案：那么，我们可以从左往右遍历，如果栈顶元素比当前数大或相等，那么删掉栈顶元素即可。
        如果，题目要求找到每个数左边离它最近的且比它大的数。
        答案：那么，我们可以从左往右遍历，如果栈顶元素比当前数小或相等，那么删掉栈顶元素即可。
        如果，题目要求找到每个数右边离它最近的且比它小的数。
        答案：那么，我们可以从右往左遍历，如果栈顶元素比当前数大或相等，那么删掉栈顶元素即可。
        如果，题目要求找到每个数右边离它最近的且比它大的数。
        答案：那么，我们可以从右往左遍历，如果栈顶元素比当前数小或相等，那么删掉栈顶元素即可。

    我们可以分析一下，经过单调栈优化的时间复杂度。我们可以发现，数组中的所有元素最多只会进栈一次，出栈一次。因此，加起来最多只会有2n次操作。因此，时间复杂度就是O(n)。

4. 单调栈模板

// 常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ;
    stk[ ++ tt] = i;
}

5. 例题

https://www.acwing.com/problem/content/832/

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int stack[100010];
int tt = 0;

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        //如果栈不为空且栈顶元素大于等于当前元素
        while(tt && stack[tt] >= x){
            //那么将栈顶元素出栈
            tt--;
        }
        //如果遍历之后，栈不为空，那么栈顶元素就是答案。
        //如果遍历之后，栈为空，那么对于当前元素来讲，没有答案，输出-1即可。
        //完成上述操作之后，将当前元素置于栈顶即可。
        if(tt){
            printf("%d ",stack[tt]);
        }else{
            printf("-1 ");
        }
        stack[++tt] = x; 
    }
    return 0;
}

    作者：gao79138
    链接：https://www.acwing.com/
    来源：本博客中的截图、代码模板及题目地址均来自于Acwing。其余内容均为作者原创。
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