区间合并及模板

区间合并及模板

1. 区间合并的应用

    假设，我们拥有很多区间，我们需要将有交集的区间合并成为一个区间。类似于这样的问题就叫做区间合并问题。请看上图：

    区间合并算法就是要尽可能快的完成上述操作。

    区间合并算法有时会需要处理一下边界问题，这种情况需要具体问题具体分析。边界问题指的就是当两个区间只有端点重合时，是否要进行合并？

    下面通过例题中的案例来辅助理解。（注：这里考虑了边界问题）

    如何进行区间合并？步骤如下：
        1.  按照区间的左端点排序（从小到大）。
        2.  排序之后，依次从左到右扫描所有区间，并维护一个当前区间S。
        3.  根据当前区间和下一个区间的位置，我们可以分为三种情况：
            1.  如果下一个区间处于当前区间内（下一个区间的左右端点均处于当前区间内），那么代表有交集，保持当前区间不变即可，对应上面的第一张图。
            2.  如果下一个区间跟当前区间有重合，但并不都包含在当前区间中，（下一个区间的左端点处于当前区间内，但右端点不是）那么将当前区间的右端点进行更新，使其延长成更长的区间，对应上面的第二张图。
            3.  如果下一个区间的左端点并不在当前区间中，代表下一个及之后的所有区间跟当前区间均无交集，那么将合并后的区间个数加一，将下一个区间作为当前区间，继续扫描即可。对应上面的第三张图。

    根据上述的步骤，我们发现区间合并具有如下性质：由于我们已经按照左端点进行从小到大排序，并且也按照从左到右来进行扫描区间。那么我们可以确定：下一个区间的左端点绝不可能在当前区间的左边。即：如果当前区间和下一个区间没有交集的话，下一个区间绝不可能出现在当前区间的左侧。并且也可以保证的是：下一个区间之后的所有区间均与当前区间没有交集。

2.区间合并模板

// 将所有存在交集的区间合并
// 这里的PII代表pair数对
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    //st和ed代表当前维护区间的左右端点
    //当前维护区间最开始初始化为：负无穷，负无穷
    //代表没有遍历任何一个区间
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        //代表没有交集的情况
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        //代表有交集的情况
        else ed = max(ed, seg.second);

    //这里是为了防止segs为空的情况
    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

3.区间合并例题

https://www.acwing.com/problem/content/805/

    例题按照上述算法的模拟如上图所示：
    过程如下：
        1.  当第一个区间作为当前区间，查看第二个区间发现有交集，将当前区间的右端点进行延长，并保持当前区间不变。
        2.  再扫描下一个区间，发现下一个区间与当前区间没有交集，那么可以保证下一个区间及之后的所有区间均与当前区间没有交集。那么将合并的区间数+1，将下一个区间作为当前区间。
        3.  扫描下一个区间（从图中可以看到下两个区间的左端点都是一样的，这时我们可以选取这两个区间的任意一个作为下一个区间，在这里我们选择7和8这个区间）发现与当前区间没有交集，因此将合并的区间数+1，将下一个区间作为当前区间。
        4.  扫描下一个区间，发现有交集，因此将当前区间的右端点进行延长，并保持当前区间不变。
        5.  至此，已经扫描完所有区间了。因此，将合并的区间数+1即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

void merge(vector<pair<int,int>> &segs){
    vector<pair<int,int>> res;
    sort(segs.begin(),segs.end());
    int st = -2e9,ed = -2e9;
    for(auto seg : segs){
        if(ed < seg.first){
            if(st != -2e9){
                res.push_back({st,ed});
            }
            st = seg.first;
            ed = seg.second;
        }else{
            ed = max(ed,seg.second);
        }
    }
    if(st != -2e9){
        res.push_back({st,ed});
    }
    segs = res;
}


int main(){
    int n;
    int l,r;
    scanf("%d",&n);
    vector<pair<int,int>> segs;
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d %d",&l,&r);
        segs.push_back({l,r});
    }
    //进行合并
    merge(segs);
    //输出
    printf("%d",segs.size());
    return 0;
}

    作者：gao79138
    链接：https://www.acwing.com/
    来源：本博客中的截图、代码模板及题目地址均来自于Acwing。其余内容均为作者原创。
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