对于辗转相除法的理解

1.辗转相除法的使用

例如：

求120和35的最大公约数

有120%35=15

35%15=5

15%5=0

此时5就是120和35的最大公约数

推理可知：

要求两个数的最大公约数，可用第一个数对第二个数取余，若余数不为0，则用除数再对余数取余，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数

循环代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
while(b!=0)
{
　　int c=a%b;
　　if(c==0)
　　　　break;
　　a=b;
　　b=c;
}
　　cout<<b;

　　return 0；
}

 

递归代码：

int gcd(int a, int b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

2.辗转相除法的原理

辗转相除法求最大公约数原理：
设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。由辗转相除法的用法可知想证明辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾），推出m-kn与n互质，即m - kn 与 n 之间无公因数，又因为r = （m - kn）c ， b = nc， 所以r和b的公因数只可能在c中 ，因次c是r，b的最大公因数。
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。
以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。