一道数学题

题目：

证明：
\(1+2+3...+n|1^k+2^k+3^k+...+n^k\)其中k是奇数，n是任意正整数

等价于\(2\times (1^k+2^k+...n^k)=pn(n+1)\)，其中p为整数
因为\((n, n+1)=1\)
等价于证明
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod n\)和
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}\)
而上一个式子等价于证明
\(2 \times (1^k+2^k+...+{(n-1)}^k) \equiv 0 \pmod n\)发现与下面形式一致
因此只需要证
\(2 \times (1^k+2^k+...+n^k) \equiv 0 \pmod {n+1}\)
那么直接两两配对即可
\(1^k+n^k+2^k+{(n-1)}^k+...\)
\(=1^k+{(-1)}^k+2^k+{(-2)}^k+...\)

当\(2|n\)时，恰好组成\(\frac{n}{2}\)组，且每组模n+1均为0
而当n为奇数时，恰好我们可以用前面的系数2将\(\frac{n}{2}\)用两次，至此完成证明