Bresenham画圆算法与中点画圆法

Bresenham画圆算法

不失一般性，假设圆的圆心位于坐标原点（如果圆心不在原点，可以通过坐标平移使其与原点重合），半径为R。以原点为圆心的圆C有四条对称轴：x = 0, y = 0, x = y和x = -y。若已知圆弧上一点P1＝C（x, y），利用其对称性便可以得到关于四条对称轴的其它7个点，即：

　　P2＝C（x,－y），

　　P3＝C（－x, y），

　　P4＝C（－x,－y），

　　P5＝C（y，x），

　　P6＝C（－y，x），

　　P7＝C（y，－x），

　　P8＝C（－y，－x）。

这种性质称为八对称性。

因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以通过圆弧的八对称性得到整个圆。

【Bresenham算法】

简单图形的扫描转换常用算法是Bresenham算法。它的思想在于用误差量来衡量点选取的逼近程度。其过程如下：

以平面二维图形的扫描转换为例，设要画的图形方程为F(x, y)=0，要画的区域为[x0, x]（不妨设x方向是最大位移方向，即△x > △y），则Ｆ(x,y) 也是一个误差度量函数，我们拿离散的点值代入如果大于0则正向偏离，否则负向偏离，等于0的情况比较少，它表示的是不偏离即恰好与真实点重合。既然x是最大位移方向，那每次对x自增1，相应的y可以选择不增或增1(或-1，具体问题具体分析)，选择的方法就是d = F(x + 1, y ± 0.5)的正负情况进行判断从而选择y的值。

实际情况中还要考虑到浮点数的计算问题，因为基本的图形扫描转换算法最好能够硬件实现，所以摆脱浮点数是最好的，常用的方法是对d进行递推，而不是直接由Ｆ(x,y)给出(直接给出速度会慢)。

【圆的扫描转换算法】

以画圆为例，给出圆心的坐标(0, 0)和半径Ｒ，求圆图像的最佳逼近点。

圆是中心对称的特殊图形，所以可以将圆八等分，则只须对八分之一圆孤求解，其它圆孤可以由对称变换得到，我们求的八分之一圆孤为(0, R) -(R√2,R√2)，可知最大位移方向是x方向，x0 = 0, y0 = R，每次对x自增，然后判断y是否减1，直到x >= y为止(从点(0, R)到圆的八分之一处就有这种情况)。误差量由Ｆ(x, y) = x^2 + y^2 - R^2给出。

先找递推关系，若当前d = F(x + 1, y - 0.5) > 0，则y须减1，则下一d值为

d = F(x + 2, y - 1.5) = (x + 2)^2 + (y - 1.5)^2 - R^2 = (x + 1)^2 + (x - 0.5)^2 - R^2 + 2x + 3 - 2y + 2 = d + 2x - 2y + 5，若当前d = F(x + 1, y - 0.5) < 0，则y不变，只有x增1，则下一d值为d = F(x + 2, y - 0.5) = d + 2x + 3。

d的初值，d0 = F(1, R - 0.5) = 1.25 - R，则可以对d - 0.25进行判断，因为递推关系中只有整数运算，所以d - 0.25 > 0即d > 0.25，这和d > 0等价，所以d取初值1 - R。

代码：

bool CEnginApp::DrawCircle(ScPoint point,int radius,UNINT *vb_start,int lpitch)
{
    if (!vb_start||lpitch<=0)
        return false;

    int mx=point.x,my=point.y;
    int x=0,y=radius;

    int r=0,g=255,b=0;

    int d=1-radius;    //起点(0,R),下一点中点(1,R-0.5),d=1*1+(R-0.5)*(R-0.5)-R*R=1.25-R,d只参与整数运算，所以小数部分可省略

    while (y>x)    // y>x即第一象限的第1区八分圆
    {
        Plot_Pixel_32(x+mx,y+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(y+mx,x+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(-x+mx,y+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(-y+mx,x+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);

        Plot_Pixel_32(-x+mx,-y+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(-y+mx,-x+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(x+mx,-y+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        Plot_Pixel_32(y+mx,-x+my,0,r,g,b,vb_start,lpitch);
        if (d<0)
        {
            d=d+2*x+3;
        }
        else
        {
            d=d+2*(x-y)+5;
            y--;
        }
        x++;
    }


    return true;
}