斐波那契数列

数学中有名的数列，fibonacci数列算一个。计算公式是：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，但是如果用这个公式写一个递归函数效率就太低了，低的原因是每一项的计算都要推导到f(0)和f(1)才能算出来，而且不能记住已经得到的结果，例如计算f(5)，根据公式f(5) = f(4) + f(3)，而f(4) = f(3) + f(2)，f(3) = f(2) + f(1)，计算f(3)时算出来的f(2)并不能应用到计算f(4)的过程里，甚至f(3)的值已经算出来了，但在算f(4)是还是要重新算一遍f(3)，这就慢多了，尤其是在n很大的情况下，更好的解决方案是将已经算出来的数列中的项保存起来，这样下次用到时就不用重新计算了，下面的python代码有两个函数，第一个函数求第n项的值，第二个函数根据值来找到对应的n来。

def fibonacci_value(index):

    if index > 998:

        raise ValueError('{0} overcome recursion limit.'.format(index))

    if index < len(li):

        return li[index]

    else:

        next = fibonacci_value(index-1) + fibonacci_value(index-2)

        li.append(next)

        return next



def fibonacci_index(value):

    if value > fibonacci_value(997):

        raise ValueError('{0} overcome recursion limit.'.format(value))

    lo = 0

    hi = 997

    while lo <= hi:             # binary search

        mid = lo + (hi - lo) // 2

        if value == fibonacci_value(mid):

            return mid

        elif value > fibonacci_value(mid):

            lo = mid + 1

        else:

            hi = mid - 1

    else:

        return -1

li = [0, 1]

斐波那契数列也叫黄金分割数列，因为f(n - 1) / f(n)趋近于0.618