两道回溯法的例题

两道回溯法的例题

1.重写0-1背包问题的回溯法，使算法能输出最优解

[算法描述]

0-1背包问题是子集选取问题。一般情况下，0-1背包问题是NP完全问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。解0-1背包问题的回溯法与解装载问题的回溯法十分相似。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行的节点，搜索就进入其左子树;而当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和；cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树中解的上界的更好的办法是，将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包，由此得到的价值是右子树的上界。

#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;

//用于记录存放当前物体的数量
int inOut[4];
//保存最多的价值
int value;
//定义背包的总共的重量的
int bagVolume = 9;

/*
	描述：背包问题的约束条件，当传入对应的序号，就去判定是否要放对应的物品
	参数：放入包中物体的序号
	返回：当前物体总重量和背包容量的关系
		 true：表示没有超重
		 false：表示超重
	原理：判定当前的物品的总重量，是不是小于物体的实际重量
*/
bool bagConstraint(int m, int weight[]) {
	//一直遍历m层之前的所有物体，求出其对应的重量
	int allweight = 0;
	for (int i = 0; i <= m; ++i)
	{
		//计算出总共的重量的
		allweight += inOut[i] * weight[i];
	}

	//比较当前的物体总重量和背包的总重量关系
	return allweight <= bagVolume;
}

/*
	描述：深度优先搜索的函数，递归函数
	参数：m:是要装入背包的物品的数量
		 weight：是背包中各个物品的重量
		 value：是背包中各个物品的价值
	返回：最终返回的是最大的价值
	问题：
*/
void bagProblem(int m, int weight[], int valueAll[]) {

	//首先确定终止条件，那就比较最大值
	if (m == 4)
	{
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < m; ++i)
		{
			sum += valueAll[i] * inOut[i];
		}

		//比较最大值
		if (sum > value)
		{
			value = sum;
		}
	}
	else {
		//没有到达终止条件，继续向下进行递归
		for (int i = 0; i < 2; ++i)
		{
			inOut[m] = i;
			//判定是否满足对应约束条件
			if (bagConstraint(m, weight))
			{
				//满足约束条件，继续向下进行递归的
				bagProblem(m + 1, weight, valueAll);
			}
		}

	}

}

int main(int argc, char const* argv[])
{
	cout << "输入的样例：物品数量：4" << endl;
	cout << "背包容量：9" << endl;
	cout << "重量分别是：2 3 4 5" << endl;
	cout << "价值分别是：3 4 5 6 " << endl;
	int num = 4;
	int weight[4] = { 2,3,4,5 };
	int valueAll[4] = { 3,4,5,6 };
	bagProblem(0, weight, valueAll);
	cout << "最终的结果是：" << value << endl;
	cout << endl;
	return 0;

}

2.最大团问题回溯法求解

完全图：任意两点都恰有一条边相连的图(任意两点都相邻)。

完全子图：满足任意两点都恰有一条边相连的子图，也叫团。

最大完全子图：所有完全子图中顶点数最大的团，即最大团。

#include <iostream>
using namespace std;
int m[101][101];//有向图的邻接矩阵
int x[101];//当前团的解
int bestx[101];//最优解
int n;//表示图的顶点数
int cn=0;//当前团的大小
int bestn;//当前最优值
void getbestn(int i)
{
    if(i>n){//递归出口，到根节点时，更新最优值和最优解，返回
        bestn=cn;//更新最优值
        for(int j=1;j<=n;j++)
            bestx[j]=x[j];
        return ;//返回
    }
    x[i]=1;//先假定x[i]=0;
    for(int j=1;j<i;j++){
        if(x[j]==1&&m[i][j]==0){
            x[i]=0;//如果该点与已知解中的点无边相邻
            break;//则不遍历左子树
        }
    }
    if(x[i]==1){//当且仅当x[i]==1时，遍历左子树
        cn++;//该点加入当前解
        getbestn(i+1);//递归调用
        cn--;//还原当前解
    }
    x[i]=0;//假定x[i]==0
    if(cn+n-i>bestn){//如果当前值+右子树可能选择的节点<当前最优解，不遍历左子树
        x[i]=0;
        getbestn(i+1);
    }
    return ;
}
int main()
{
    cin>>n;//输入图的顶点数
    //输入图的邻接矩阵
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        cin>>m[i][j];
    //求最优解
    getbestn(1);
    cout<<bestn<<endl;//输出最优值
    //输出
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(bestx[i])
        cout<<i<<" ";//输出最优解
    return 0;
}