分治的理解

分治的理解#

把规模为n的问题P(n)，分解为k个规模较小、互相独立、结构与原来问题结构相同的子问题，又进一步的分解每个子问题，直到某个阀值n0为止。递归地解这些子问题，再把子问题的解合并起来，得到原问题的解。

Copy
divide-and-conquer(P)
  {
    if ( | P | <= n0) adhoc(P);   //解决小规模的问题
    divide P into smaller subinstances P1,P2,...,Pk；//分解问题
    for (i=1,i<=k,i++)
      yi=divide-and-conquer(Pi);  //递归的解各子问题
    return merge(y1,...,yk);  //将各子问题的解合并为原问题的解
  }

人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。

分治法设计步骤#

三个步骤组成：

1. 划分步：把输入的问题实例划分为k个子问题。尽量使k个子问题的规模大致相同。在很多情况下，使k=2。也有k=1的划分，仍把问题划分成两部分，取其中的一部分，而丢弃另一部分，如二叉检索问题用分治法处理 。

2. 治理步：当问题的规模大于某个预定义的阀值n0时，治理步由k个递归调用组成。

   阀值n0的选取：阀值可为任何正常数，大小与算法的性能有关。取决于算法中的adhoc对阀值n0的敏感程度，以及merge的处理情况。

3. 组合步：把子问题的解组合起来，对分治算法的实际性能至关重要 。算法的有效性很大程度上依赖于组合步的实现！

分治法的复杂性分析#

一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

题目#

给定数组a[0:n-1]，试设计一个算法，在最坏情况下用┌ 3n/2-2 ┐次比较找出a[0:n-1]中元素的最大值和最小值。

• 算法思想

  • 用分治法求最大值和次大值首先将问题划分，即将划分成长度相等的两个序列，递归求出 左边的最大值次大值，再求出右边的的最大值次大值，比较左右两边，最后得出问题的解。

• 复杂度分析：

  • 把问题划分为左右两种的情况，需要分别递归求解,时间复杂度可如下计算：

  • 有递推公式为：

  • Copy
    - T(n)= 1	n=l
    
    - T(n)=2T(n/2)+l n>l
    

  • 所以，分治算法的时间复杂度是n+[logn]-2,当n为奇数时，logn取上线，当n为偶数时,logn取下线。

• Copy
  #include<stido.h>
  int a[100];
  void maxcmax(int i,int j,int &max,int &cmax){
      int lmax,lcmax,rmax,rcmax;
      int mid;
      if(i==j){
          max=a[i];
          cmax=a[i];
      }
      else if(i==j-1){
          if(a[i]<a[j]){
              max=a[j];
              cmax=a[i];
          }else{
              max=a[i];
              cmax=a[j];
          }
      }else{
          mid = (i+j)/2;
          maxcmax(i,mid,lmax,lcmax);
          maxcmax(mid+1,j,rmax,rcmax);
          if(lmax>rmax){
          	if(lcmax>rmax){
                  max=lmax;
              	cmax=lcmax;
          	}else{
              	max=lmax;
              	cmax=rmax;
              }
          }else{
             if(rcmax>lmax){
                  if(rcmax==rcmax){
                      max=lmax;
                      cmax=lcmax;
          	    }else{
                      max=lmax;
                      cmax=rmax;
                 }
             }else{
                 max=rmax;
                 cmax=lmax;
             }
          }
      }
  }