bzoj4915 简单的数字题

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【题解】

出自第52届IMO试题第1题。

首先第一问一定是4（样例给你了啊），如果要你证明，

我们不妨令a₁<a₂<a₃<a₄

那么有S=a₁+a₂+a₃+a₄

S/2=a₁/2+a₂/2+a₃/2+a₄/2

那么有a₃/2+a₄/2+a₃/2+a₄/2>a₁/2+a₂/2+a₃/2+a₄/2>S/2，即a₃+a₄>S/2，显然这不可能是S的因数。

同理，a₄/2+a₂/2+a₂/2+a₄/2>a₁/2+a₂/2+a₃/2+a₄/2>S/2，即a₂+a₄>S/2，显然也不可能是S的因数。

所以在所有6种组合里，最多有4种数对满足条件。

 

讨论当n_A=4的情况：

a1+a4和a2+a3一定有一个大于等于S/2

讨论a2-a1和a4-a3的大小即可.

也就是说

S/2<=max(a₁+a_4,a₂+a₃)

那么要满足a₁+a₄是S的约数,a₂+a₃是S的约数，就要满足

a₁+a₄=a₂+a₃=S/2

令u=a₁+a₂,v=a₁+a₃（u<v）

那么S=2(a₂+a₃)=2(u+v-2a₁)

所以v|S，即v|2(u+v-2a₁)，即v|2(u-2a₁)

那么令k=(2u-4a₁)/v，k为整数且k>=1

那么k=2(u/v)-4(a₁/v)<2

又k>0，且k为整数且k>=1，故k=1

故2(u-2a₁)=v

另一边，有u|2(v-2a₁)

那么就有u|2(2(u-2a₁)-2a₁)

u|2(2u-6a₁)

u|4u-12a₁

那么u|12a₁

由于u<v=2u-4a₁

所以u>4a₁

所以u=6a₁或u=12a₁

所以集合只有两种，为S={a₁,5a₁,7a₁,11a₁}或S={a₁,11a₁,19a₁,29a₁}

暴力做即可

# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>
// # include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int M = 5e5 + 10;
const int mod = 1e9+7;

# define RG register
# define ST static

ll l, r;

int main() {
    cin >> l >> r;
    cout << 4 << endl;
    ll ans = max(r/11-l+1, 0ll) + max(r/29-l+1, 0ll);
    cout << ans << endl; 
    return 0;
}