bzoj4584 [Apio2016]赛艇

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【题解】

令f[i,j,k]表示前i个学校，赛艇最远放在j区间，且j这个区间放了k个赛艇。

那么显然区间可以离散（这里用左闭右开方便），那么就是一个大概O(n^3)的做法了。

好像就行了？据说还要常数优化qwq

丢个方程

令s[j]表示Σf[i-1,j',*]，其中j'<=j。

令len[j]表示第j个区间的实际长度。

f[i,j,1] = f[i-1,j,k] + s[j]*len[j]

（前i-1个就放到这么多了，前i-1个还没放到这，现在放在这里，有len[j]种方案，因为放哪都行）

f[i,j,k] = f[i-1,j,k] + f[i-1,j,k-1]*(len[j]-k+1)/k

（前i-1个就放到这么多了，前i-1个这个区间还差一个，把他塞进来）

后面那坨是怎么回事呢，因为原来是C(len[j],k-1)，现在变成C(len[j],k)，改变的量。

# include <vector>
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <algorithm>
// # include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int M = 5e2 + 10, N = 1000 + 10;
const int mod = 1e9+7;

# define RG register
# define ST static

int n, m;
struct intervals {
    // [l, r) 
    int l, r;
    intervals() {}
    intervals(int l, int r) : l(l), r(r) {}
}p[M]; 

vector<int> ps;
int len[N];
int f[N][M], s[N]; 
int cnt[M][N], inv[N]; 

inline int pwr(int a, int b) {
    int ret = 1;
    while(b) {
        if(b&1) ret = 1ll * ret * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        scanf("%d%d", &p[i].l, &p[i].r); ++p[i].r; 
        ps.push_back(p[i].l), ps.push_back(p[i].r);
    }
    sort(ps.begin(), ps.end()); 
    ps.erase(unique(ps.begin(), ps.end()), ps.end());
    m = ps.size();
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        int L = lower_bound(ps.begin(), ps.end(), p[i].l)-ps.begin()+1;
        int R = lower_bound(ps.begin(), ps.end(), p[i].r)-ps.begin()+1;
        p[i] = intervals(L, R);
    } 
    for (int i=1; i<m; ++i) len[i] = ps[i] - ps[i-1]; 
    
    for (int i=0; i<=1000; ++i) inv[i] = pwr(i, mod-2); 
    
    for (int i=0; i<m; ++i) s[i] = 1; 
    
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        for (int j=1; j<m; ++j) cnt[i][j] = cnt[i-1][j];
        for (int j=p[i].l; j<p[i].r; ++j) ++cnt[i][j];
    }
    
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        for (int j=p[i].l; j<p[i].r; ++j) {
            for (int k=cnt[i][j]; k>=2; --k) {
                f[j][k] = f[j][k] + 1ll * f[j][k-1] * (len[j]-k+1) % mod * inv[k] % mod; 
                if(f[j][k] >= mod) f[j][k] -= mod; 
            }
            f[j][1] = f[j][1] + 1ll * s[j-1] * len[j] % mod;
            if(f[j][1] >= mod) f[j][1] -= mod;  
        }
        s[0] = 1; 
        for (int j=1; j<m; ++j) {
            s[j] = s[j-1];
            for (int k=1; k<=cnt[i][j]; ++k) { 
                s[j] = s[j] + f[j][k]; 
                if(s[j] >= mod) s[j] -= mod;
            }
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for (int i=1; i<m; ++i)
        for (int j=1; j<=n; ++j) { 
            ans = ans + f[i][j];
            if(ans >= mod) ans -= mod;
        }
    printf("%d\n", ans); 

    return 0;
}