2024 年 5月随笔档案 - g1ove

abc353f 题解

摘要：大分讨，由于没注意到细节挂大分。下面称大小为

n \times n

$n\times n$ 的为大格子，

1 \times 1

$1\times 1$ 的为小格子。把

n \times n

$n\times n$ 个小格子组成的正方形称为一个部分。分析我们先来讨论一般情况。思考一对于

n \geq 3

$n\ge3$ 的一般情况，如果要求任意两个大格子到对方阅读全文

posted @ 2024-05-13 09:32 g1ove 阅读(39) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[数论] 二项式反演

摘要：菜就多练，输不起就别玩，不会就是不会。二项式推论

1.

$1.$

(\binom{n}{m}) = (\binom{n}{n - m})

$\tbinom{n}{m}=\tbinom{n}{n-m}$

2.

$2.$

(\binom{n}{m}) = \frac{n}{m} (\binom{n - 1}{m - 1})

$\tbinom{n}{m}=\frac{n}{m}\tbinom{n-1}{m-1}$

3.

$3.$ \(\sum\limits_{i=0}^nC 阅读全文

posted @ 2024-05-12 19:52 g1ove 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[数论] 扩展欧拉定理

摘要：想当初我学这个都是直接背板子的，因为结论十分简单。学了原根以后才对这个东西深入了解。费马小定理

p

$p$ 为质数时，

\forall a \in Z

$\forall a\in\mathbb{Z}$ ，

a^{p - 1} \equiv 1

$a^{p-1}\equiv 1$ 。证明：取

S = {1, 2, . . . p - 1}

$S=\{1,2,...p-1\}$ 则 \(aS=\{a,2a,3 阅读全文

posted @ 2024-05-11 15:41 g1ove 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[DS小计] 长链剖分

摘要：在周周转转几周被 DP 和数论拷打后，滚回来学 DS 了。什么是长剖我们知道，我们学过重链剖分，它强大的性质使它处理链上问题十分顺手。我们学过虚实链剖分，在处理连边断边链问题也很厉害。长剖是树剖大家族的一员，与重剖很相似。不同之处在于，重剖按的是子树大小，长剖按的是深度。好了，现在你已阅读全文

posted @ 2024-05-09 15:23 g1ove 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[多项式] 各种运算

摘要：除法

+, -, \times

$+,-,\times$ 都是众所周知的。除法需要用到逆元。我们定义

F (x) G (x) = 1 (mod x^{n})

$F(x)G(x)=1(\bmod x^n)$ 时，

F, G

$F,G$ 互为逆元。方法

1

$1$ ：

O (n^{2})

$O(n^2)$ 递推。没什么用。方法

2

$2$ ：倍增阅读全文

posted @ 2024-05-09 09:24 g1ove 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[多项式] NTT

摘要：前置知识：FFT，原根书接上回。我们知道，FFT 的

ω

$\omega$ 作用特殊，我们找到了它的替代品：原根。为什么原根符合呢？看看

ω

$\omega$ 的几条性质：

1.

$1.$

ω_{n}^{k} = (ω_{n}^{1})^{k}

$\omega_n^k=(\omega_n^1)^k$

2.

$2.$

ω_{n}^{k}

$\omega_n^k$ 各不阅读全文

posted @ 2024-05-08 15:20 g1ove 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[数论] 原根

摘要：书接上回... 我们知道，我们在使用 FFT 时，靠的是单位根

ω

$\omega$ 。数学家证明这是复数域中唯一符合条件的数。可是它的浮点误差和带来的巨大运算时间使我们有点不能接受。于是，我们想想能不能找个替代品替代掉

ω

$\omega$ 。于是，原根就出现了！原根的引入阶对于一个数阅读全文

posted @ 2024-05-08 10:27 g1ove 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[多项式前置知识] 单位根 & 复数

摘要：从小学我们就知道

i = \sqrt{- 1}

$i=\sqrt{-1}$ 。复数一般写作

a + b i

$a+bi$ 复数四则运算加法：

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ 减法就是取个相反数。乘法：

(a + b i) \times (c + d i)

$(a+bi)\times (c+di)$ \(=ac+(ad+bc)i+bd\times i^2 阅读全文

posted @ 2024-05-06 16:02 g1ove 阅读(160) 评论(1) 推荐(1) 编辑

[多项式] FFT小计

摘要：引入给出两个多项式

A, B

$A,B$ ，计算它们相乘的结果。我们能轻易写出 code： for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=n;j++) C[i+j]+=A[i]*B[j]; 然后超时了。 FFT 是一种将多项式乘法优化成

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 的神仙阅读全文

posted @ 2024-05-06 11:30 g1ove 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

5.4 模拟赛

摘要：T1 T4 杀卵题不说。做了 COCI 的原题。 T3 Rolete 为什么先说 T3 ，因为 T3 很简单。首先先预处理出按

x

$x$ 次按钮需要的时间。根据直觉，我们观察到一个显然的贪心：如果在

x

$x$ 按了

p_{x}

$p_x$ 次，那么在

x - 1

$x-1$ 拉的次数 \(p_{x-1}\ 阅读全文

posted @ 2024-05-05 08:25 g1ove 阅读(14) 评论(0) 推荐(0) 编辑

一分钟冲刺完拉格朗日差值

摘要：介绍拉格朗日差值是设计一条次数为

n - 1

$n-1$ 次的多项式穿过

n

$n$ 个点。我们知道，给定

n

$n$ 个点确定一条唯一的

n - 1

$n-1$ 次多项式。算法我们引入一个开关。对于

x_{1}, x_{2}, x_{3}

$x_1,x_2,x_3$ ，我们想让当

x = x_{1}

$x=x_1$ 时，

g (x) = y_{1}

$g(x)=y_1$ ，当 \ 阅读全文

posted @ 2024-05-04 09:42 g1ove 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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