树的重心

什么是树的重心？

树上选取一个点，使得最大的子树大小最小的点叫做重心。

重心有很多优美的性质，求重心是容易的，不再阐述。

• 1.以重心为树根时，最大的子树的大小不超过全树大小的一半，同时条件是充要的

对于充分性：
考虑调整法。不妨现在钦定一个重心 \(u\) 作为树根，有一个儿子 \(v\) 且 \(siz_v>\frac{n}{2}\)，那么，将重心(根节点)移动到这个子树内是一定不劣的，因为 \(n-siz_v<siz_v\)，所以 \(n-siz_v\le \frac{n}{2}\)，不难发现一直调整即可。

对于必要性：
考虑一个点 \(u\) 满足最大的子树的大小不超过全树大小的一半。
那么，只要去往任意一个儿子 \(v\) ，最大子树大小会变成 \(n-siz_v\)，所以这个子树内不会产生重心，除非 \(siz_v=\frac{n}{2}\)。如果不考虑这个情况的话，发现 \(u\) 是无法调整的，也就是重心。能调整的话只有 \(siz_v=\frac{n}{2}\) 的情况，而且只能调整一步。换句话说，这两个点都是重心。顺便证明了一条性质：

• 2.一颗树最多只有两个重心，且这两个重心一定是相邻的。此时树一定有偶数个节点，且可以被划分为两个大小相等的分支，每个分支各自包含一个重心。

• 3．一棵树的重心一定在根节点所在的重链上。

由 \(1\) 证明得到。上面的过程就是一直在跳重链。

• 4.如果树的所有边权都为 \(1\)，那么树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么到它们的距离和一样。反过来，距离和最小的点一定是重心。

考虑钦定根节点为这个距离最小的点，然后使用调整法，发现还是一个一直跳重链的过程，终止条件就是 \(n-siz_u>siz_u\)，也就是跳到重心了

• 5.在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

满足移动的条件是儿子 \(v\) 满足 \(siz_v>n-siz_v\)，所以它只会往这个方向移动至多一步。

• 6.把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，则新的重心在较大的一棵树一侧的连接点与原重心之间的简单路径上。如果两棵树大小一样，则重心就是两个连接点。
  另外一种说法：把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两棵树的重心的路径上。

由 5 推出。

说这么多都是为了 P5666 铺垫

Problem

给出了一个大小为 \(n\) 的树 \(S\)，树中结点从 \(1 \sim n\) 编号。小简单的课后作业是求出 \(S\) 单独删去每条边后，分裂出的两个子树的重心编号和之和。保证数大小为奇数，\(n\le 3\times 10^5\)，多测，\(T\le 5\)。

Solution

由上面的定理得知，连接任意两条边，重心一定在两个子树重心之间。

先考虑经典 trick 就是每个点的贡献，进行分类讨论。考虑一个点 \(u\)，和它的重儿子 \(v\)。定义重儿子是 \(size\) 最大的儿子。

设断成的子树大小为 \(x\)。

• 1.如果断的边不在重儿子里

那么，成为重心需要满足断边后 \(siz_v\le\frac{siz_u}{2}\)，也就是 \(siz_u-w\ge2siz_v\)，得到 \(w\le siz_u-2siz_v\)，不难发现，如果不断重儿子内的边，这个点就是重心，暴力就行了。

• 2.断的边在重儿子里

则重儿子大小变成 \(siz_v-x\)，树大小变为 \(n-x\)，需要找出次重的儿子的大小 \(siz_w\)，需要满足 \(\max\{siz_v-x,siz_w\}\le\frac{n-x}{2}\)。

处理一下就是 \(2siz_v-n\le x \and n-2siz_w\ge x\)。即 \(x\in[2siz_v-n,n-2siz_w]\)

思路就没有了。接下来讲讲实现。

对于 \(1\)，暴力跑出重心枚举即可，时间复杂度 \(O(n)\)。

对于 \(2\)，把序列排到 dfn 序上，相当于求一个区间，大于等于一个数的个数，对于在根方向的预处理一下。离线后平凡的使用树状数组即可。时间复杂度已经足够优秀了。更简单的处理方式是，把重心作为根，这样所有点重儿子的方向一定是重心方向。