Codeforces 杂题

CF1994E

\(*2000, \texttt{Tag:}\) 贪心，位运算

题意：

给出一片森林，每次你可以选择一个点删去它的子树，求所有删去的子树大小的按位或结果的最大值。

Solution

按位或可以看做在二进制下的不进位加法，因此，若一棵树不管怎么拆分，它拆分出来的子树大小或的结果不会大于它本身。

若一棵树的大小为 \(\texttt{siz}\)，我们可以轻易构造出所有在 \([1,\texttt{siz}]\) 间的数。
因此，直接贪心的从高到低按位考虑，如果能取到这一位，任意选一棵子树去除这一位即可。

时间复杂度 \(O(n\log m)\)。

Submisson

CF1994F

\(*2500, \texttt{Tag:}\) 构造，贪心，树，欧拉回路

Perface

一个很经典的 Trick 题。不妨看看这道题：abc345f

这题其实就是上面那题和欧拉回路的复合题。

Solution

考虑一个图是欧拉回路仅当所有点度数为偶数。

然后必选的边先选上，由于题目保证是连通图，所以相当于按 \(2\) 取模后，选一些边，然后所有点度数为偶数。

容易处理出选完所有必选边的情况后，变成一个 \(01\) 问题，选一条边相当于让两个端点异或 \(1\)，合法仅当所有点为 \(0\)，经典的结论就是只要两个点联通就能互相点掉，构造方案就是将路径上所有边状态取不取取反即可，然后把有的边留下来跑欧拉回路即可。

\(O(n)\)。
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CF1995D

\(*2300, \texttt{Tag:}\) 字符串，SOSdp

Solution

不妨把所有子串的结尾的位置放在一个集合 \(S\) 中。

一个很经典的结论就是考虑一个必要条件，就是 \(\forall p\in[1,n-k],[p,p+k]\cap S\ne \emptyset\)，而且 \(n\in S\)。

反证一下就发现这是个充要条件，因此考虑反过来思考，记录一个状态 \(f_{mask}\) 表示对于 \(mask\) 这个集合不选集合中的所有字母是否合法，同意发现一个集合不合法它的超集也不合法，跑一次子集 dp 然后判断删除最多的字母即可。

时间复杂度 \(O(k2^k)\)。
PS：这题放过了暴力枚举子集的 \(O(3^k)\) 做法。

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CF1996G

\(*2200, \texttt{Tag:}\) 哈希，贪心，线段树

Solution 1

先讲最常规不用脑子的方法。
显然的断环成链，每次枚举维护断掉的边，然后将使用过的边权值加 \(1\)，然后求 \(0\) 的个数，这是线段树容易维护的，实现略微繁琐。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

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Solution 2

考虑处理区间 \([l,r]\)，有将 \([l,r]\) 全部打上标记或者 \([1,l-1]\cup[r+1,n]\) 打上标记的方法。

考虑将第 \(i\) 个区间 \([l,r] \oplus 2^i\)，则更换方向等同于全局 \(\oplus 2^i\)，而答案是最终 \(0\) 的个数。

容易想到异或维护，最终只需要查询出现最多的数即可。

\(O(n\log n)\)。如果使用 unordered_map 可以做到 \(O(n)\)。

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CF1997E

\(*2200, \texttt{Tag:}\) dp，二分，数据结构

Sol

容易发现对于任意一个怪物，存在一个阈值 \(x\)，意思是打 \(x\) 个怪物升一级，在 \(x\) 以上包括 \(x\) 怪物全都不会逃跑，在 \(x\) 以下怪物都会逃跑。

简单来说就是杀怪升级的参数 \(k\) 具有单调性，使用二分答案对于每个怪物求出这个阈值即可。可以用线段树二分做到严格 \(O(n\log n)\)，我选择了树状数组和二分，常数较小。

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CF1998D

\(*2100, \texttt{Tag:}\) 最短路，贪心

不妨考虑 Bessie 一个出发点 \(x\)，当 Elise 跑到任意超过 \(x\) 的点时已经没有必要继续往后了，只有超过和被占用两种情况。简单来说，如果到了一个点 \(a\) 最短路径花了 \(t\) 步，则需要满足 \(t<a-x\)，变换一下就是 \(x<a-t\)。

动态从 \(1\to n\) 遍历每个点，跑出最短路，记录下超过当前节点的最大的 \(a-t\) 即可。

条件限制刚好可以满足当 \(a\le x\) 时一定不成立，可以省去很多细节。

\(O(n)\)。

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