ABC373F 题解

容易发现这是一个完全背包问题，我们设状态 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个物品使用了 $j$ 个容量的最大价值。

容易写出转移方程式：$f_{i,j}=\max\limits_{k=0}^{\lfloor\frac{j}{w}\rfloor} f_{i-1,j-kw}+kv-k^2$

直接 dp 是 $O(n^3)$。考虑对这个 dp 进行优化。

上面的方程容易写成滚动数组的形式。不妨设上一维状态为 $g$，这一维为 $f$。

Solution 1

将后面的 $kv-k^2$ 记为 $T(k)$，则一段区间 $[l,r]$ 价值记为 $w(l,r)$，则 $w(l,r)=T(r-l+1)$。发现若对于决策点 $a,a+1,b,b+1$，始终满足 $w(a,b)+w(a+1,b+1)\ge w(a,b+1)+w(a+1,b)$。

将 $j$ 按对 $w$ 取模后的值分类后使用决策单调性优化即可。时间复杂度 $O(n^2\log n)$。

Solution 2

同样对 $j$ 按对 $w$ 取模后的值分类。改写 dp 式子：$f_{i}=\max g_j+(i-j)v-(i-j)^2$。

对式子拆分：$f_{i}=g_j+iv-jv-i^2-j^2+2ij$

移项得 $g_j-jv-j^2=-2ij+i^2+fi-iv$

容易发现这是斜率优化的形式，且 $k=-2i$ 为单调的， $x=i$ 也是单调的，使用单调队列可以优化到 $O(n^2)$。

---

决策单调性：code

斜率优化：code

还是建议写决策单调性，码量小细节少。