Codeforces Round 969 (Div. 1 + 2)

A

将序列转化为 \(01\) 串，奇数为 \(1\)，偶数为 \(0\)。
容易发现两个 \(0\) 不能分在同一组，于是答案的上限取决于奇数的个数，并且容易构造方案达到这个上界，随便做做就行。

B

将序列排序后，发现不管怎么加，大小顺序不变，记录下最大值按题意模拟。

C

根据基本数论知识可得，操作等价于加上 \(\gcd(a,b)\)，所以在 \(\bmod (a,b)\) 意义下数不变，记录一下所有数枚举断点。

D

容易发现产生贡献只能是根节点和叶子结点的值不一样。

将问题转化为一堆叶子未确定和一堆叶子已确定。

当根节点是确定的，而且先手先填，所以如果有 \(x\) 个问号，那么先手可以多拿 \(\lceil\frac{x}{2}\rceil\) 个贡献。

否则，就要开始分讨，我们先要证明一个引理，就是先手和后手他们填的数不可能相同。证明也很简单，他们可以进行反悔，如果给对手多了一个贡献，那么他可以回之前操作取消。

因此，如果叶子里面 \(0\) 和 \(1\) 个数不同时，先手会优先把根节点选好，然后对于问号，只能拿 \(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor\) 贡献。

相同时就大家都不选根节点，选完其它叶子结点再选根节点最优。

E

容易发现一条链只有所有边都被确定时才达不到上界。由于点是 \(\texttt{dfn}\) 序，有查询相邻节点，所以一条边只会经过两次，暴力维护即可，思维难度不如 D。

F

赛时止步于此。

究极神秘结论题。

题意：定义一个正整数集合是合法的：你可以任意次取出集合中的正整数 \(x,y\)，满足 \(x,y\) 同奇偶性，且不在集合中，然后把它加入集合。做到无法再做为止，最终集合内的数必须连续。给定序列，求有多少个子区间内的数组成的集合是合法的。

考虑将原序列变为很多段差分。差分可以将问题统一化。
先考虑只有两个数，差分为 \(d\)，明显，\(d\) 只能有 \(2\) 的因数。
考虑一大堆数差分结束条件，将所有的 \(2\) 因子去除后，就是所有的差分都相同才能结束。
我们可以猜最后这个数是什么。首先猜个下界：\(\gcd_{i=l}^{r-1} d_i\)，幸运的是，我们总能构造出一种方案使其满足。

所以问题就很简单了，就是查询有多少段 \(l,r\)，满足 \(\gcd_{i=l}^{r-1} d_i\ =1\)。

Div 1 D

中文题解有没有树脂。错了也不改一改，硬控我很久。

考虑不进行 \(2\) 操作，将原序列从小到大排序后，最优的排列一定是：\(a_n,a_1,a_{n-1},a_2,a_{n-3}...\)

交换即可证明。

考虑 \(a_i\times a_{n-i+1}\) 这种条件很难维护，我们将其拍扁到值域上。
接下来就是官方中文题解式子的错误，令 \(c(l,r)\) 表示一段数内值域在 \([l,r]\) 间的数的个数，需要满足：

\(\forall i\in[1,\lfloor\sqrt k\rfloor],c(1,i)\ge c(\lfloor\frac{k}{i+1}\rfloor+1,k)\)

贪心的，把非法的序列变合法，一次 \(2\) 操作相当于减少两个最大值，随便维护，注意若 \(n\) 为奇数，中间一项不必管。

时间复杂度 \(O(q\sqrt k)\)