[数论] 扩展欧拉定理

想当初我学这个都是直接背板子的，因为结论十分简单。
学了原根以后才对这个东西深入了解。

费马小定理

\(p\) 为质数时，\(\forall a\in\mathbb{Z}\)，\(a^{p-1}\equiv 1\)。
证明：取 \(S=\{1,2,...p-1\}\)
则 \(aS=\{a,2a,3a...(p-1)a\}\)
你知道的，\(\because \forall x\in S,(x,p)=1，\therefore (ax,p)=1\)
数列中存在相同的数，仅当 \(ax\equiv ay\)。又因为 \((a,p)=1\)，所以仅当 \(x\equiv y\)，所以得到 \(S=aS\)，所以就很简单了。

欧拉定理

若 \((a,p)=1\)，\(a^{\varphi(p)}\equiv 1 (\bmod p)\)。
一个道理。
证明取的 \(S\) 是所有 \((x,p)=1\) 的 \(x\)。一共有 \(\varphi(p)\) 个。
然后 \(aS\) 一个意思，因为 \((a,p)=1\)，所以和上面一个意思。
举个例子。
\(p=12\),\(S=\{1,5,7,11\},aS=\{a,5a,7a,11a\}\)
因为 \((a,p)=1\)，所以仅当 \(x=y\)才会重复。所以 \(S=aS\)。

扩展欧拉定理

\[a^b \equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)}, &\gcd(a,m) = 1, \\ a^b, &\gcd(a,m)\ne 1, b < \varphi(m), \\ a^{(b \bmod \varphi(m)) + \varphi(m)}, &\gcd(a,m)\ne 1, b \ge \varphi(m). \end{cases} \pmod m\]

一二条很显然不说。主要证明第三条。
证明还是很 ex，还是记住结论算了。
结论：

• 在 \(\varphi(m)\) 次后，会进入循环节，此后每走 \(\varphi(m)\) 步肯定会回到原点。

所以互质的情况开始点就是循环起始点。
注意循环节的长度是 \(\varphi(m)\) 的因数，不是 \(\varphi(m)\)。
结论多简单，记住就行了。
更简单的：

\[a^b \equiv \begin{cases} a^b, & b < \varphi(m), \\ a^{(b \bmod \varphi(m)) + \varphi(m)}, & b \ge \varphi(m). \end{cases} \pmod m\]