[数论] 原根

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我们知道，我们在使用 FFT 时，靠的是单位根 $\omega$。
数学家证明这是复数域中唯一符合条件的数。
可是它的浮点误差和带来的巨大运算时间使我们有点不能接受。

于是，我们想想能不能找个替代品替代掉 $\omega$。
于是，原根就出现了！

原根的引入

阶

对于一个数 $x$ ，在 $\bmod p$ 的意义下，存在一个最小的正整数 $k$，使得 $a^k\equiv1$，特别的，当 $k$ 不存在时，我们认为 $k=\infty$。

这么个理解法，举个例子：
在 $\bmod 7$ 情况下，$3$ 的阶是 $6$。因为 $3,2,6,4,5,1$。
说白了就是求循环节。
所以有 $\infty$ 的情况就是 $a$ 的 $p$ 的因数，到 $0$ 后死循环了。

根据伟大的欧拉函数，我们知道这个循环节最多是 $\varphi (p)$。

我们记 $\delta_p(a)$ 表示 $a$ 的阶，在 $\mod p$ 意义下。

原根

我们记 $\delta_p(a)=\varphi(p)$ 的 $a$，叫做 $a$ 的原根。
只有 $2,4,2p^c,p^c$ 的数才存在原根。($p\in prime$，$p\ne 2,c\in \mathbb{N^+}$)
证明最后写。

性质

• 对于 $a^n\equiv 1,\delta_p(a)|n$

• 如果我们知道一个原根 $g$ ，可以构造出其它所有原根。
  我们把 $(p,i)=1$ 的 $i$ 求出来。然后找到任意一个原根 $g$，然后 $g$ 像 $g^2$ 连边，$g^2$ 向 $g^3$ 连边..... 这样，最终会变成一个简单环。
  每个原根等同于往这个环上每次跳 $x$ 跳边，然后遍历每个点一次回到原点。
  所以，原根的数量是 $\varphi(\varphi(n))$。

• 原根是稠密的，最小原根近似于 $n^{0.25}$。

求法

我们知道性质后，我们想直接枚举出一个原根。
我们想想怎么判断一个数 $x$ 是不是原根。

• 引理：只需判断 $\varphi(p)$ 的因数即可
  假设我们已经得到一个环，存在一个正确的原根 $g$ 每次跳一步得到。假设每次跳 $x$ 步，环大小为 $n$，那么最终这个环的大小是 $\dfrac{lcm(x,n)}{x}=\dfrac{n}{\gcd(x,n)}$
  所以我们可以证明得到，环的大小总是 $n$ 的约数，所以我们枚举每个约数看看跳这么多步是不是 $1$ 即可。

求一个原根的算法就已经得到了，时间复杂度是 $O(p^{0.25}w(p)\log p)$。

然后就是一个原根推所有原根。构造一下就行了，时间复杂度是 $O(\varphi(p)\log p)$。

其实呢，求原根是很纸币的行为，有一个就够了，要那么多干啥。

可以查这个：原根表