[多项式前置知识] 单位根 & 复数

从小学我们就知道 $i=\sqrt{-1}$。

复数一般写作 $a+bi$

复数四则运算

• 加法：
  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

减法就是取个相反数。

• 乘法：
  $(a+bi)\times (c+di)$
  $=ac+(ad+bc)i+bd\times i^2$
  $=(ac-bd)+(ad+bc)i$

• 共轭复数
  $a+bi$ 的共轭复数是 $a-bi$，它们相乘一定是有理数。

• 除法：（没什么用）
  $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

复数表示

每个复数都写作 $a+bi$ ，所以我们可以在一个直角坐标系表示所有复数。
举个例子，$(x,y)$ 表示的就是 $x+yi$。

复数相乘

我们定义复数 $x=a+bi$ 的模长为 $|x|$ ，就是 $(a,b)$ 距离远点的距离。
我们定义幅角表示当前点和原点连线后，与第一象限的直线所形成的的夹角。

复数相乘就是模长相乘，幅角相加。
这个证明会在最后。

单位根

对于 $x^n=1$ 的解集构成单位根。
我们定义 $\omega_n^k$ 表示第 $k$ 个 $n$ 次单位根。

我们看看单位根怎么求。
由于模长相乘的原因，我们希望最后得到的数模长为 $1$，幅度为 $0$。

所以我们希望对于一个 $x$，$x^n=1$，还需要 $x$ 是正实数。这不很明显只有一个解 $x=1$。
所以 $\forall \omega_n^k$，它们模长都是 $1$。
所以它们都在单位圆上（和三角函数那个一个意思）。

然后接下来就是幅角的问题了。

知道规律后，我们希望找到一个角度，从幅度为 $0$ 逆时针转 $n$ 次后回到幅度为 $0$。
那么最小的角度就是 $\frac{360^\circ}{n}$。

所以，我们把单位圆的圆周 $n$ 等分，每一份都可以取作单位根。
所以我们单根怎么求就出来了。然后右转三角函数。

单位根的性质

$\omega_n^k=-\omega_n^{k+n/2}$（$n$ 是偶数）
$\omega_n^0=1$
$\omega_{n}^{n/2}=-1$
$\omega_n^k=(\omega_n^1)^k$
$\omega_n^j\times \omega_n^k=\omega_n^{j+k}$
$\omega_{pn}^{pk}=\omega_{n}^k$

三角函数

补数学了。
c++ 用的是弧度制，所以角度要转弧度。

• $\cos(x),\tan(x),\sin(x)$ 没有变化，给入弧度，给出三角函数值。
• $acos(x),atan(x),asin(x)$ 给入三角函数的值，给出弧度。

所以 $\pi$ 的求法就很简单了。我们知道 $\cos \pi=-1$，所以 $\pi=acos(-1)$。

复数运算的证明

我们考虑三个点 ：$(a,b)$，$(c,d)$,$(ac-bd,ad+bc)$
$D(a,b)=a^2+b^2,D(c,d)=c^2+d^2,D(ac-bd,ad+bc)=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

所以模长相乘得证。

然后我们这样看：
$\tan\theta_1=\frac{b}{a},\tan\theta_2=\frac{d}{c}$
$\tan(\theta_1+\theta_2)=\dfrac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\tan\theta_2}=\dfrac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\dfrac{bd}{ac}}=\dfrac{ad+bc}{ac-bd}=\tan\theta_3$

得证。