5.4 模拟赛

T1 T4 杀卵题不说。

做了 COCI 的原题。

T3 Rolete

为什么先说 T3 ，因为 T3 很简单。
首先先预处理出按 \(x\) 次按钮需要的时间。

根据直觉，我们观察到一个显然的贪心：如果在 \(x\) 按了 \(p_x\) 次，那么在 \(x-1\) 拉的次数 \(p_{x-1}\ge p_x\)。反证即可证明。

直接上决策单调性优化即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
int n,t,s,k,m;
int q;
int a[N];
ll tim[N],sum[N*2],cnt[N*2];
ll res,cur;
ll ans[N];
void solve(int l,int r,int al,int ar)
{
	if(l>r) return;
	int mid=(l+r)/2,pos;
	ll res=1e18;
	for(int i=al;i<=ar;i++)
	{
		ll v=tim[i]+1ll*(sum[i+mid]-1ll*cnt[i+mid]*(i+mid))*t;
		if(v<res) res=v,pos=i;
	}
	ans[mid]=res;
	solve(l,mid-1,pos,ar);
	solve(mid+1,r,al,pos);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&s,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),m=max(m,a[i]),cnt[a[i]]++,sum[a[i]]+=a[i];
	cur=cnt[0];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		res+=1ll*cur*k+s;
		cur+=cnt[i];
		tim[i]=res;
	}
	for(int i=m;i>=0;i--) cnt[i]+=cnt[i+1],sum[i]+=sum[i+1];
	solve(0,m,0,m);
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		printf("%lld ",ans[x]);
	}
	return 0;
}

T2 海盗

我们考虑每个区间对答案的贡献。

具体来说，对于区间 \([l,r]\)，我们先考虑区间 \([l,r]\) 独立成段的条件。我们发现 \([1,l-1]\) 需要刚好分割成完整的区间，\([r+1,n]\) 可以随便填。我们可以使用预处理一个 dp 算出长度为 \(L\) 时成一个完整区间的方案，对于 \([r+1,n]\)，方案数是 \(2^{n-r}\)。

由于要我们输出 \(n\) 以内的所有答案，所以我们考虑差分数组 \(d\)，具体的，如果是 \([l,r]\) 区间贡献 \(w\)，我们在 \(r\) 差分加上 \(w\)，之后处理完所有区间后，我们对差分数组进行前缀求和，具体的，\(d_i=d_{i-1}\times 2+d_i\)。

现在问题转化为考虑长度为 \(L\) 的区间贡献。
对于区间内每个数，我们考虑每个数对区间的贡献。
然后这个东西随便搞搞就行了。预处理一个 dp 即可。
时间复杂度 \(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 5005
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll d[N];
int n;
ll fib[N],sum[N];
ll f[N][2],g[N];
ll dp[N][3];
void init()
{
	sum[1]=fib[0]=fib[1]=1;
	f[1][0]=f[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) 
		fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod,
		sum[i]=(sum[i-1]+fib[i])%mod,
		f[i][0]=(f[i-1][0]+f[i-1][1])%mod,
		f[i][1]=f[i-1][0];
	g[2]=1,g[3]=2;
	f[0][0]=1;
	for(int i=4;i<=n;i++) // solve for all the length of i
	{
		ll res=0;
		res+=fib[1]*f[i-4][0]%mod;
		for(int j=2;j<=i-3;j++)
			res+=fib[j]*f[j-1][0]%mod*f[i-3-j][0]%mod,res%=mod;
		res+=fib[i-1]*f[i-2][0]%mod,res%=mod;
		g[i]=res;
	}
	dp[1][0]=dp[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		dp[i][0]=(dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2])%mod,
		dp[i][1]=(dp[i-1][0]+dp[i-1][2])%mod,
		dp[i][2]=dp[i-1][1];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			int L=j-i+1;
			if(i==1) d[j]+=g[L];
			else d[j]+=g[L]*dp[i-1][2]%mod;
			d[j]%=mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		d[i]=(d[i]+d[i-1]*2)%mod,
		printf("%lld ",d[i]);
	return 0;
}