一分钟冲刺完拉格朗日差值

介绍

拉格朗日差值是设计一条次数为 \(n-1\) 次的多项式穿过 \(n\) 个点。
我们知道，给定 \(n\) 个点确定一条唯一的 \(n-1\) 次多项式。

算法

我们引入一个开关。
对于 \(x_1,x_2,x_3\) ，我们想让当 \(x=x_1\) 时，\(g(x)=y_1\) ，当 \(x=x_2\) 或 \(x=x_3\) 时,\(g(x)=0\)。
所以拉格朗日设计出了这个式子：

\[g(k)=y_i\prod\limits_{i=1,i\ne k}^n \frac{x-x_i}{x_k-x_i} \]

我们发现右边那一坨，当 \(x=x_k\) 时为 \(1\) ，否则为 \(0\) 。

这不就解决了嘛。

然后我们把所有的 \(g\) 加在一起，得到 \(f(x)=\sum\limits_{i=1}^n g(i)\)

完了。

在取值连续时可以看情况优化。