[dp 小计] 期望dp

Updata 7.10 文章重构。
参考了网上许多 blog

什么是期望

我们小学学过概率和平均数。

把事件 $A$ 发生的概率表示为 $P(A)$。
把随机变量 $X$ 的取值期望值记作 $E(X)=\sum_iP(X=i)\times i$

简单点就是成立概率乘上成立贡献。

简单的性质

对于两个互不影响的事件(变量) $X,Y$：

• $P(X\and Y)=P(x)\times P(y)$
• $E(XY)=E(X)E(Y)$

证明：
$E(XY)=\sum_i\sum_ji\times j\times P(X=i)\times P(Y=j)$
$=\sum_ii\times P(X=i)\sum_jj\times P(Y=j)$
$=E(X)E(Y)$

• $P(X\or Y)=P(x)+P(y)$
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

证明：
$E(X+Y)=\sum_i\sum_j P(X=i)\times P(Y=j)\times(i+j)$
$=\sum_ii\sum_j P(X=i)\times P(Y=j)+\sum_i\sum_j j\times P(X=i)\times P(Y=j)$
$\because \sum_iP(X=i)=1$
$\therefore E(X+Y)=\sum_i P(X=i)+\sum_j j\times P(Y=j)=E(X)+E(Y)$

这是期望的线性性，非常重要。

一些经典例子

A.

证明：概率为 $p$ 的事件期望在 $\frac{1}{p}$ 次发生。

运用了极限的思想。
设 $f(0)$ 表示事件没发生，期望 $f(0)$ 次发生，$f(1)=0$。表示事件已经发生。
我们可以得到：$f(0)=pf(1)+(1-p)f(0)+1$
根据极限思想合并左右两个 $f(0)$，移项化简，得到 $f(0)=\frac{1}{p}$。

B.

有 $n$ 个随机数 $X_i$，$X_i$ 等概率的从 $[1,m]$ 中选取，求 $\max_{i=1}^nX_i$ 的期望值。

运用了经典的转化思想。
先转化问题：$\max_{i=1}^n=S$，则 $E(S)=\sum\limits_{i=1}^m P(S=i)i$

我们发现 $P(S=i)$ 很难求，转化为 $P(S\le i)$ 比较好求。
直接强制 $n$ 个数都在 $[1,i]$ 之间即可。所以 $P(S\le i)=(\frac{i}{m})^n$。

所以 $P(S=i)=P(S\le i)-P(S\le i-1)$，对于程序，使用快速幂即可在 $O(m\log n)$ 时间内解决。

P6406

很强的题目。

题目要求某个容器的存活时间 $E(t_i)$，容易得到柿子：$E(t_i)=\sum\limits_{x=1}P(t_i=x)\times x$

运用上面的技巧，转化为：

$E(t_i)=\sum\limits_{x=1}P(t_i\ge x)$

找到第 $i$ 个数左右第一个比它大的数 $l,r$，对于一般的罐子存活时间上界就是 $n-3$。然后容易想到的就是枚举 $x$，我们现在的问题就变成了有多少种情况操作次数比 $x$ 大。不妨思考为操作 $x$ 次还没有做掉的概率。

不难发现如果选择一个操作一个数位置 $p$ 就是操作 $[p,p+1]$，对于所有位置进行标号，发现所有标号的情况和原序列删除情况成了双射。

考虑枚举取的点数 $x$，选择一些位置最后乘上一个 $x!$ 变成一个更简单的选择问题。现在问题转化为：

• $(1)$ 在一个序列选取 $x$ 个点。
• $(2)$ 不能同时取 $i$ 号点左边的 $l$ 个。
• $(3)$ 不能取右边(包含自身)的 $r$ 个。

很简单就能想到容斥，因为不满足 $(2)(3)$ 的情况实在是太好求了。我们推出柿子：

$$\sum\limits_{x=1}^nx!(C_{n-1}^x-C_{n-1-l}^{x-l}-C_{n-1-r}^{x-r}+C_{n-1-l-r}^{x-l-r})$$

这个就是合法的方案数。总方案数就是第一项，概率就是：

$$\sum\limits_{x=1}^n\dfrac{x!(C_{n-1}^x-C_{n-1-l}^{x-l}-C_{n-1-r}^{x-r}+C_{n-1-l-r}^{x-l-r})}{x!C_{n-1}^x}$$

然后约分，问题等价于：

$$\sum\limits_{x=1}^n\dfrac{(C_{n-1}^x-C_{n-1-l}^{x-l}-C_{n-1-r}^{x-r}+C_{n-1-l-r}^{x-l-r})}{C_{n-1}^x}$$

然后我们就能 $O(n^2)$ 做掉这题了。

然后可以暴拆柿子做到 $O(n)$，但是没有必要

P3239

题目要求 $E(\sum d)$，根据期望的线性性，考虑每个数的贡献，最后再加起来，也就是 $\sum\limits_{i=1}^n dp_i\times d_i$

现在在于问题怎么求 $dp_i$，也就是所有情况这个数贡献的和。

将问题进行等价的转化，设置随机变量：有一个 $n\times r$ 的 $01$ 矩阵，每个矩阵里的数都有概率为 $0$ 或 $1$，每次会取每一行第一个出现的 $1$，取过的列不会再取，问每一列被取的概率之和。

数据范围提示解法应该是 $O(nr)$ 的，考虑到取多次都是相同的，容易想到枚举取到的一行，需要满足之前没有被取然后这一行被取，每一次考虑的都是一个左上方的矩阵，没有后效性，考虑 dp。

考虑刷表，每次增加一列似乎更为容易。

首先，对于第一个数，被取的概率显然是 $1-(1-p_1)^r$，考虑定义 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，取了 $j$ 个的方案数。

• $(1)$ 不选这个数
  那么，就是 $f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}\times(1-p_i)^{r-j}$

• $(2)$ 选这个数
  不难发现，只要在任意一处取了都是等价的结果，就是：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j-1}\times(1-(1-p_i)^{r-j+1})$

初始情况就是 $f_{0,0}=1$。

考虑计算最终的答案，$dp_i$，不难在转移的过程中顺便得出。

难点在于转化。