[dp 小计] 期望dp
Updata 7.10 文章重构。
参考了网上许多 blog
什么是期望
我们小学学过概率和平均数。
把事件 \(A\) 发生的概率表示为 \(P(A)\)。
把随机变量 \(X\) 的取值期望值记作 \(E(X)=\sum_iP(X=i)\times i\)
简单点就是成立概率乘上成立贡献。
简单的性质
对于两个互不影响的事件(变量) \(X,Y\)：
- \(P(X\and Y)=P(x)\times P(y)\)
- \(E(XY)=E(X)E(Y)\)
证明：
\(E(XY)=\sum_i\sum_ji\times j\times P(X=i)\times P(Y=j)\)
\(=\sum_ii\times P(X=i)\sum_jj\times P(Y=j)\)
\(=E(X)E(Y)\)
- \(P(X\or Y)=P(x)+P(y)\)
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)
证明：
\(E(X+Y)=\sum_i\sum_j P(X=i)\times P(Y=j)\times(i+j)\)
\(=\sum_ii\sum_j P(X=i)\times P(Y=j)+\sum_i\sum_j j\times P(X=i)\times P(Y=j)\)
\(\because \sum_iP(X=i)=1\)
\(\therefore E(X+Y)=\sum_i P(X=i)+\sum_j j\times P(Y=j)=E(X)+E(Y)\)
这是期望的线性性，非常重要。
一些经典例子
A.
证明：概率为 \(p\) 的事件期望在 \(\frac{1}{p}\) 次发生。
运用了极限的思想。
设 \(f(0)\) 表示事件没发生，期望 \(f(0)\) 次发生，\(f(1)=0\)。表示事件已经发生。
我们可以得到：\(f(0)=pf(1)+(1-p)f(0)+1\)
根据极限思想合并左右两个 \(f(0)\)，移项化简，得到 \(f(0)=\frac{1}{p}\)。
B.
有 \(n\) 个随机数 \(X_i\)，\(X_i\) 等概率的从 \([1,m]\) 中选取，求 \(\max_{i=1}^nX_i\) 的期望值。
运用了经典的转化思想。
先转化问题：\(\max_{i=1}^n=S\)，则 \(E(S)=\sum\limits_{i=1}^m P(S=i)i\)
我们发现 \(P(S=i)\) 很难求，转化为 \(P(S\le i)\) 比较好求。
直接强制 \(n\) 个数都在 \([1,i]\) 之间即可。所以 \(P(S\le i)=(\frac{i}{m})^n\)。
所以 \(P(S=i)=P(S\le i)-P(S\le i-1)\)，对于程序，使用快速幂即可在 \(O(m\log n)\) 时间内解决。
C.
经典放球问题。
